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8.你能利用这个结果吗?

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  • 8.你能利用这个结果吗?

借助于自己的方法来找出问题的解是发明创造。如果问题不太难,这发明 创造也不大,但无论如何它毕竟还是发明创造。有了某个发明创造,尽管不大, 我们也应该探索它后面是否有更多的东西。我们不应该错过由这新结果所开创 的可能性,我们应该再尝试使用一次我们已经使用过的方法。要利用你的成功! 对某个别的问题,你能利用这个结果或方法吗?

(1)如果我们对变化一个问题的主要方法,如“普遍化”,“特殊化”,“类 比”,“分解和再组合”比较熟悉的话,我们就很容易想出一个新问题。我们 从所提出的问题出发,用刚才提到的那些方法由它导出其他问题,从这些问题 再导出别的问题,如此等等。从理论上说,这一过程是无限的,但在实际中, 我们很少进行得很长,因为这样所得到的问题容易成为棘手的问题。

另一方面,我们可以构造出新问题,这些新问题我们很容易利用以前所解决的问题加以解决,但这些易解的新问题又容易显得索然无味。

找出一个既有趣又好下手的新问题并不那么容易,这需要经验、鉴别能力 和好运气。但是,当我们成功地解决了一个好问题以后,我们应当去寻拔更多 的好问题。好问题同某种蘑菇有些相像,它们都成堆地生长。找到一个以后, 你应当在周围找找;很可能在附近就有几个。

(2)我们打算用第8,1O,12,14,15节中讨论过的同一个例子来阐明上述 论点。所以,我们从下列问题开始:

已知长方体的长、宽、高,求外接圆的直径。

棱锥体的底面是一长方形,其中心为棱锥体的高的足。已知棱锥体的高及其底面的各边,求各侧棱。 已知空间中两点的直角坐标(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),求此两点的距离。 我们容易解决这些问题,因为它们和已知其解的原问题相差不多。在每一情况中,我们都对原问题加些新概念,如外接圆,棱锥体,直角坐标。这些概 念容易加进去,也容易去掉,并且当去掉它们之后,我们又回到了我们原来的 问题。

由于我们引入原问题的概念是有趣的,所以上述问题也有一定的趣味。最 后一个问题,即由两点的坐标确定其距离尤其重要,这是由于直角坐标很重要 的缘故。

(3)如果我们已知原问题的解,这里还有另外一个我们很容易解决的问题:

已知长方体的长、宽和对角线,求其高。

事实上,我们原问题的解主要在于:为四个量(即长方体的长、宽,高和 对角线)建立一个关系式。如果这四个量中的任意三个为已知,则我们可以由这 关系式求出第四个。于是新问题可解。

对于从已有解的问题导出易解的新问题,这里有个模式;我们设原来未知 数为已知,并将原来的已知数之一作为未知数。在这新、老两个问题中,联系 已知数与未知数的关系式相同。在一个问题中找出关系式,我们即可把它用于 求解另一个问题。

这个通过变换数据的地位以导出新问题的模式和第(2)点中的模式迥然不同。

(4)我们现在用其他的办法导出某些新问题。

对我们的原问题很自然地使之普遍化,就得到下列新问题:已知一个平行 六面体从对角线一个端点出发的三条棱以及三棱间的三个夹角,求平行六面体 的对角线。

用特殊化的办法,我们得到下列问题:已知正方体的棱长,求它的对角线。

用“类比”的办法,我们可得无数多的各种各样变型的问题。下面几个是

从第(2)点中所考虑的问题导出来的: 已知正八面体的棱,求它的对角线。 已知正四面体的棱,求外接球的半径。

已知地球(假定为球体)表面上两点的几何坐标(经度和纬度),求两点间的球面距离。

所有上述问题都很有趣,但是只有用“特殊化”办法所得到的那个问题,才能直接在原问题的解的基础上求出它的解。

(5)我们可以把原问题的某些元素看成变量,用这个办法从原问题导出新问题。

第(2)点所述问题的一个特例是:已知正方体的棱,求它的外接球的半径。 让我们把正方体和正方体与球的公共中心看成是固定不变的,但是可以改变球 的半径。如果球的半径很小,则球在正方体内,随着半径的增大,此球胀大(就像一个橡皮的气球在充气的过程中)。在某一时刻,此球碰到这正方体的表面; 再过些时候,碰到它的棱;再晚些,此球通过其顶点。在这三个关键时刻,球 的半径应取何值?

(6)如果一个学生从来就没有机会去解决一个他自己所发明创造的问题, 那么他的经验是不完整的。教师可以向学生示范如何从一个刚刚解决的问题引 出新问题,这样做可以引起学生的好奇心。教师也可以留一部分创造发明给学 生。例如,他可以谈到刚才所讨论的那个膨胀的球,他可以问学生:“你打算 计算什么?半径的哪些值特别有趣?”