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65.为什么要证明?

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  • 65.为什么要证明?

关丁牛顿有个传说:当他是个青年学生的时候,他开始学习几何,阅读欧 几里得的《几何原本》,这在他那个时代是很普通的。他阅读定理,认为它们 成立,就略而不读其证明。他奇怪为什么别人要煞费苦心地证明如此明显的东 西。但许多年以后,他改变了他的意见,并且对欧几里得称赞备至。

且不管这故事是真是假,但这个问题确实存在:为什么我们要学习证明或 教授证明呢?何者更可取?是完全不证明还是每点都证明?还是有的证,有的不证? 如果只是有的证,有的不证,应证明哪些?

(1)完全证明。对某类逻辑学家来说,只有完全证明才算证明。想成为一个 证明,必须不留空隙,没有破绽,也没有任何不肯定性,否则它就不是证明。 在我们日常生活中,或在法律程序中,或在物理科学中,能不能根据这样一个 高标准找到完全证明呢?几乎找不到。所以,很难理解,我们是怎样得到这样一 个关于严格的“完全证明”的概念的。

我们不防带点夸张地说:人类是从一个人和一本书(即欧几里得和他所写 的《几何原本》)学到这个概念的。无论如何,学习平面几何原理提供了得到严 格证明这一概念的迄今最好的机会。

我们把下列定理的证明作为一例:在任何一个三角形中,三角之和等于两 个直角。图23是我们大多数人已有的知识,只须稍加解释。过顶点A作一直线平 行于边BC。由于内错角相等,三角形中在B角与C角等于图上所指出的在 A点的 某一个角。三角形的三个角与具有一公共点A的三个角相等,后者形成一平角或 两个直角。于是定理得证。

怎么解题 成长吧啊图23

如果一个学生学过数学课,而并不真正懂得几个象上面那样的证明,他有 权向学校和教师提出尖锐批评。事实上,我们应当分清什么是较重要和什么是 不那么重要的。如果学生不熟悉某个具体的几何事实,他的损失并不大;因为 在他今后的生活中很少用到这些事实。然而如果他未能熟悉几何证明,他损失 的却是“真实证据”的最佳与最简单的例子,并且他也损失了获得严格论证概 念的良机。而没有这种概念,他就缺少一种真正的标准来比较现代生活中针对 他的各式各样的所谓证据。

总之,如果普通教育打算给学生以直观证明与逻辑论证的概念,那么就必 须重视几何证明。

(2)逻辑系统。几何学,正如欧几里得《几何原本》所表明的那样,并非 仅仅是事实的一种汇集而是一个逻辑系统。公理、定义和命题不是按随便(随机) 的序列排列的,而是按一种完美的顺序安排的。每一命题都这样安排,使得它 能以前面的定理、定义与命题为基础。我们可以把命题的这种安排看作是欧几 里得的主要成就,并把它们所组成的逻辑系统看作是《几何原本》一书的主要优点。

欧几里得的几何学还不仅是一个逻辑系统,它还是这类系统的第一个和最 伟大的范例,其他的科学已经并且将继续尝试去模仿它。其他科学——特别是 那些离几何特别远的学科,如心理学、法学——是否应该模仿欧几里得的严格 逻辑呢?这是个可辩论的问题;但是,一个人若不熟悉这种欧几里得系统,他便 没有能力参加这种辩论。

现在,几何体系是通过证明的“粘合”而成的。每个命题与其前面的公理、 定义以及命题借助于一个证明而联系起来。不了解这种证明,就无法了解这体 系的本质。

总之,如果普通教育打算给学生以逻辑体系的概念,它必额重视几何证明。

(3)助记体系。作者并不认为直观证明、严格论证和逻辑体系对任何人是 多余的。但是也可能有这样的情况:由于时间不够或其他原因,学习这些概念 并不是绝对必要的。不过,即使在这种情况下,我们也希望学习证明。

证明给出证据;在这样做时,它们组合成逻辑系统;它们帮助我们记住组 合起来的各项内容。以上面图23为例,该图使三角形三个角之和等于180°这一 事实变得更加清楚了。该图并使上述事实与内错角相等这一事实联系了起来。 这种相互联系的事实,无论如何是比较有趣的,因之也比孤立的事实记得牢固。 所以,图形使我们牢记两个互相联系的几何命题并且最后很可能使该图和该命 题成为我们不可剥夺的知识财富。

现在我们讨论那些我们认为不必获得普遍性概念而只希望知道某些事实 的情况。即使在这种情况下,事实也必须在某种联系、某种体系中提出来,因 为孤立的内容不容易学到手而且容易忘却。这里,我们欢迎把事实简单地、自 然地、合适地结合起来的任何一种联系。这种体系并不需要建立在逻辑基础上, 它只需设计成能有效地帮助记忆即可;即,它必须是所谓“助记体系”。然而, 即使从纯助记体系的观点来看,证明也可能有用,尤其是简单的证明。例如, 学生必须学习关于三角形三角之和这一事实以及关于内错角的另一事实。难道 有任何方法能比图23更简单、更自然或更有效地帮助我们记住这些事实吗?

总之,即使一般化的逻辑概念没有什么特殊重要性,证明作为助记方法也可能是有用的。

(4)菜谱体系。我们已经讨论了证明的好处,但是我们肯定并未鼓吹所有 的证明都应“详尽”地给出。相反,在有的情况下几乎不能这样做;其中一种 重要的情况就是对工程专业的学生教授微积分。

如果根据现代严格标准讲授微积分,则其证明要求有一定程度的难度而且 技巧精微(“e—证明”)。可是工程专业的学生学习微积分乃着眼于应用,而且 他们既无充分的时间,也无充分的训练或兴趣来和冗长的证明打交道或赞赏其 技巧精微之处。所以授课者不免强烈地倾向于把所有的证明都割爱。但这样做, 就把微积分降到菜谱的水平了。

菜谱对于原料及程序描述得很详细,但对其规定并无证明,对其配方不说 明理由;点心的证明就在于品尝。菜谱可以完全为其目的服务。实际上,它并 不需要有任何逻辑体系或助记体系,因为其配方是印刷文字而并非保留在记忆之中。

但是,如果一本微积分教材的作者或者一位大学教师过分遵循菜谱体系, 则它几乎不能为其目的服务。如果他只教方法,不教证明,则那些无吸引力的 方法不能被人理解。若他只给出规则而不讲理由,则干巴巴的规则会很快会被 遗忘。数学不能用品尝点心一模一样的方式来尝试;如果所有论证都被拒之于课堂之外,则微积分课程很容易成为一种无法消化的知识大杂烩。

(5)不完全证明。在过分证明与菜谱水平之间权衡折衷的最好方法可能是 合理使用不完全证明。

对于一个严格的逻辑学家来说,一个不完全的证明根本不算证明。除此之 外,我们肯定还应当把不完全证明和完全证明仔细加以区分;把二者混为一谈 很不好,张冠李戴则更糟。当一本教科书的作者含糊不清地提出一个不完全证 明,在羞愧与夸耀自己的证明是完全证明之间显然进退维谷时,这是痛苦的。 但是应用不完全证明的场合是合适的并且应用得体,却可能很有用。它们的用 处不是去代替完全证明(这点它们永远办不到),而是赋予所提问题或出版物以 趣味与和谐。

例1.一个n阶代数方程恰有n个根。这个命题被高斯称为“代数的基本定理”。 我们必须经常向那些预备知识不多尚不足以理解其完全证明的学生提出这个命 题。可是这些学生知道一阶方程有一个根,两阶方程有两个根。此外,这个困 难的命题还有一个很容易证明的部分:没有任何n阶方程会具有多于n个的不同 的根。上述这些事实是否构成这基本定理的一个完全证明呢?绝不。但是它们足 以使这个基本定理有趣与可信——并且使学生牢记这个基本定理,而这是主要 的。

例2.由三面角的棱所形成的平面角中,任意二个面角之和大于第三个面 角。显然,这个定理等于肯定:在一个球面三角形中,任意两边之和大于第三 边。看到这点,我们自然想起球面三角形与直线三角形之间的类比。上述说明 是否构成一个证明呢?绝不;但它们帮助我们了解与记住所提定理。

上述第一个例子有历史价值。大约有250年之久,数学家一直相信这个基 本定理而并无完全证明——实际上没有比上述更多的基础。上述第二个例子指 出“类比”是推测的重要源泉。在数学中,就象在自然科学与物理科学中一样, 发现常常从观察、类比和归纳开始。这些方法,用在构成一个似真的探索法论 证时很得体,特别投物理学家与工程师之所好[参见“归纳与数学归纳法”一节, 第(1),(2),(3)点]。

不完全证明的作用与趣味,在某种程度上可由我们所研究的解题过程加以 说明。在解题中的某些经验表明:证明的最初念头经常是不完全的。其中可能 有最基本的说明、主要联系和萌芽状态的证明,但其细节尚待以后补充,并且 常常很麻烦。有些作者(但不很多)具有以最简单形式提出萌芽状态的证明和主 要念头并指出其余细节性质的天赋。这样一个证明虽不完全,但却可能比提出 一个带有完全细节的证明更富于启发性。

总之,当我们的目标是所提问题或出版物具有相当的和谐一致性而非严格的逻辑一致性时,不完全证明可用作一种助记方法(当然不可代替完全证明)。

鼓吹不完全证明是非常危险的。但是我们可以用下面几条规则使可能出现的误用不超过一定限度:第一,如果一个证明不完全,就必须在某处以某种方 式指出来。第二,除非作者或教师本人对完全证明知道得很清楚,否则他无权 对定理提出一个不完全的证明。

此外,人们可能承认:十分得体地提出一个不完全证明毕竟也并不容易。