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6.你能检验这结果吗?

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  • 6.你能检验这结果吗?

你能检验这结果吗?你能检验这论证吗?对这些问题若能给出很好的回答,将加强我们对答案的信任并巩固我们的知识。

(1)数学问题的数字结果可以这样来检验,把它们与观测值或可观测数字在 常识上的估计值相比较。由于产生于实际需要或天生好奇心的问题几乎总是以 事实为基础的,所以可以预期这种与可观测事实作比较的步骤一般不能省略。 但是每一个教师都知道学生在这方面能做出不可思议的事来。有些学生求出船 的长度为16,130英尺,船长的年龄为8岁零二个月,顺便说一下,这位船长已经 是一位祖父,对于这样一件事,他们也会坚信不疑,泰然自若。如此不顾明显 的谬误并不一定说明他们愚蠢,而只不过对人为编造的问题漠不关心罢了。

(2)“字母题”比“数字题”更容易接受有趣的检验(见第14节)。作为另外一个例子,我们考虑底为正方形的棱台。设下底边长为a,上底边长为b,高为h,则其体积为

\(\frac{(a^2+ab+b^2)h}{3}\)

我们可用“特殊化”一节所讲的方法检验这结果。事实上,若a=b,则棱 台成为棱柱,公式成为a2h;若b=O,则棱台成为角锥体,公式成为a2h/3。我们 还可用“量纲检验法”。事实上,公式的量纲是长度的立方。还有,我们可用 数据的变化来检验公式;事实上,若正数值a,b或h中的任一个增大,则公式的 数值也增大。

这类检验不仅可用于最后结果,也可用于中间结果。它们是如此有用,值 得讨论,参见“问题的变化”这一节第(4)点。为了能利用这种检验,我们可能 发现把“数字题”加以普遍化并变为“字母题”是有好处的,参见“普遍化” 这一节第(3)点。

(3)你能检验这论证吗?在逐步检验论证时,我们应当避免单纯的重复。首 先,单纯的重复容易令人厌烦,缺乏启发性,使人注意力涣散。其次,在我们 曾经跌过一次跤的地方,如果环境与从前一样,我们可能再次跌跤。如果我们 感到需要把整个论证重新逐步检查一遍,我们至少应当改变各步的次序,或者 改变它们的分组,以引入某些变化。

(4)排出论证中最薄弱的环节并首先加以审查,这只需要较少的劳力,而 且更有兴趣。在挑出论证中值得审查之点时,一个很有用的问题是:你曾否利 用了所有的数据?

(5)很清楚,我们非数学方面的知识不能完全奠基在形式逻辑的证明上。 我们日常知识的较可靠的部分是不断被我们每天的经验所检验,所加强的。在 自然科学中,这种检验采取了细心试验与测量的形式,并与数学论证结合在一 起。我们的数学知识能否只以形式逻辑的证明为基础呢?

这是个哲学问题。我们不能在这里辩论。但肯定的是,你的数学知识,我 的数学知识,或者你的学生的数学知识,都不是仅仅以形式逻辑证明为基础的。 任何可靠的知识,必有深厚的实验基础,而且通过每个已成功地检验其结果的 问题使这种基础更加坚实。