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31.归纳与数学归纳法

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  • 31.归纳与数学归纳法

归纳法是通过对特例进行观察与综合以发现一般规律的过程。它用于所有 科学甚至数学。数学归纳法则仅在数学中用以证明菜类定理。从名称上看,二 者有联系,这点毋宁是不幸的,因为二者在逻辑方面的联系极少。不过二者之 间还有某种实际联系;我们常把两种方法一起使用。我们将用同一个例子来说 明这两种方法。

(1)我们可能碰巧看到

`1+8+27+64=10^2`

于是,把各个数写成平方和立方,我们可以把上述事实写成更有趣的形式:

`1^3+2^3+3^3+4^3=10^2`

怎么会有这样的事发生?是否经常有这样的事,即连续自然数的立方和是一个自 然数的平方?

我们提的这个问题很象博物学家所提的。博物学家看到一个奇特的植物或 者稀有的地质层,会设想一个普遍的问题。我们的普遍问题是关于下列连续自 然数的立方和的:

`1^3+2^3+3^3+…+n^3`

我们是由特例n=4引出这个问题的。

对于这个问题,我们能作什么呢?博物学家将怎么办?我们可以研究其他特 例。特例n=2,3更简单,下一个特例是n=5。为了一致与完整,我们加上n=1的 情况。将所有情况排列整齐,就象一位地质学家把他某种矿的所有标本排列起 来一样,我们可得下表:

怎样解题 成长吧啊

很难令人相信,所有连续自然数的立方和是某个自然数的平方,这一事实 仅仅是巧合而已。在类似的情况下,博物学家对于这个由观察特例所得到的一 般规律的正确性将很少怀疑;一般规律几乎总由归纳所证明。虽然数学家基小 上用同一方式思考,但他在表达时却有更多的保留。他会说,下列定理是由归 纳有力地提出的:

前n个自然数的立方和是一个自然数的平方。

(2)我们已被引导到猜测一个值得注意的、有些神秘的定律。为什么n个连续自然数的立方和应该是一个自然数的平方?不过,显然,它们是某个自然数的平方。

博物学家在这种情况会怎么办?他将对他的猜测进行检验。在这样做时, 他可以遵循各种研究路线。博物学家可能积累更多的实验证据;如果我们也希 望这样做,我们必须检验下列情况:n=6,7,…。博物学家也可能重新检验引 起他猜测的那些事实,他把这些事实小心地加以比较,尝试去剖析出更深刻的 规律性,某种更进一步的类比。让我们遵循这条研究路线。

我们重新研究表中所列出的n=1,2,3,4,5等情况。为什么所有这些和都是某个自然数的平方?关于这些平方,我们能说些什么?它们的底是1,3,6,10,15。关于这些底数有什么情况呢?有没有某个更深刻的规律,某种更进一步的类 比?不管怎样,它们不象是增加得很不规则。它们是怎样增加的?这个系列中相 邻两项之差本身也是增加的,3-1=2,  6-3=3,  10-6=4,  15-10=5 这些差数显然很有规律。这里,我们在耶些平方的底数之间,可以看出惊人的 类比,在数字1,3,6,10,15中,我们可以看出明显的规律性:

1=1

3=1+2

6=1+2+3

10=1+2+3+4

15=1+2+3+4+5

如果这种规律性是普遍的(而相反的情况是难以置信的),则我们所猜测的定理 将取一个更精确的形式:即,

对于n=1,2,3,…

`1^3+2^3+3^3+…+n^3=(1+2+3+…+n)^2`。

(3)刚才所述定律是由归纳法所发现的,其发现方式告诉我们关于归纳的 概念,这种概念必然是单方面的,不完全的,但并不是歪曲的。归纳法企图去 找出所观察事物背后的规律性与统一性。它最明显的手段是普遍化、特殊化和 类比。试验性的普遍化从努力了解所观测到的事实开始;它以类比为基础,并 由更进一步的一些特例加以检验。

关于归纳这个论题,哲学家们有很多分歧,我们就此止步,不再评论。但 应该补充一点:许多数学结果是首先由归纳所发现,以后再加以证明的。已严 格地提出来的数学是一门系统的演绎科学,而正在形成过程中的数学是一门实 验性的归纳科学。

(4)我们在数学中可以象物理科学中那样利用观察与归纳去发现普遍规 律。但有区别。在物理科学中,比观察与归纳更高的权威是没有的,但在数学 中却有这样一个权威:严格的证明。

我们用实验观点工作片刻之后,改变一下我们的观点可能是有益的。让我 们严格起来。我们已发现一个有趣的结果,但其论证仅仅是似乎有理的,实验 的,假设的,探索法的;让我们尝试用严格的证明来把它肯定地建立起来。

现在我们面临一个“求证题”:证明或推翻上述结果(见上述2)。

这里有个小简化。我们也许知道

\(1+2+3+…+n= \frac{n(n + 1)}{2}\)

不管怎么样,这是容易证明的。取一长方形,其边为n与n+1,用波折线把它分 成两半,如图18a所表示的是n=4情况。每一半都是“阶梯形”的,而其面积的 表达式为1+2+…+n;当n=4,它是1+2+3+4,见图18b。现在整个面积是 n(n+1), 而阶梯形面积仅是上述面积之一半;于是上述公式得证。

怎样解题 成长吧啊图18

我们可以将归纳所得之结果变换为

\(1^3+2^3+3^3+…+n^3=[\frac{n(n + 1)}{2}]^2\)

(5)如果我们想不出如何证明这结果,我们至少可以检验它。让我们检验我们尚未检验过的第一个情况,n=6。这时有 `l+8+27+64+125+216=(6×7/2)^2` 经过计算,这是正确的,两边都等于441。

我们可以更有效地检验上述公式。这公式很可能普遍成立,即对n的所有 数值都成立。当我们从任何n值过渡到下一个值n+1时,此公式是否仍成立?按照 前面所写的公式,我们也应当有

\(1^3+2^3+3^3+…+n^3+(n+1)^3 =[ \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} ]^2\)

现在作简单的检验。从上式减去前页的公式,得

\((n+1)^3=[ \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} ]^2 —[\frac{n(n + 1)}{2}]^2\)

这公式很容易检验。右侧可写成

\((\frac{ n + 1}{2} )^2[(n+2)^2-n^2]=(\frac{ n + 1}{2})^2[n^2+4n+4-n^2]=\frac{( n + 1 )^2}{4}(4n+4)\)

`=(n+1)^2(n+1)=(n+1)^3=左侧`

于是我们由实验所发现的公式通过了极为重要的检验。

让我们弄明白这个检验意味着什么。我们已经毫无疑问地证明

\((n+1)^3=[\frac{(n + 1)(n + 2)}{2} ]^2 -[ \frac{n(n + 1)}{2} ]^2\)

但现在我们还不知道

\(1^3+2^3+3^3+…+n^3=[ \frac{n(n + 1)}{2}]^2\)

是否成立。如果我们知道它成立,则加上方才我们毫无疑问地证明的那个等式,我们就可推断

\(1^3+2^3+3^3+…+n^3+(n+1)^3 =[ \frac{(n + 1)(n + 2)}{2} ]^2\)

也成立。它就是对下一个整数n+1的情况的推断。现在我们确实知道,对于n=1,2,3,4,5,6,我们的猜测是成立的。根据我们方才所说的,这个猜测在n=6 时既然成立,则当n=7时也必成立。在n=7时成立,则在n=8时也成立;在n=8时 成立,则在n=9时也成立;如此等等。它对所有n都成立。这就证明了它普遍成立。

(6)上述证明在许多类似情况下可作为一个模式。这个模式的主要思路是什么?

我们需要证明的推论必须预先以精确的形式给出。

此推论必须与整数n有关。

此推论必须相当“明显”的,使得我们有某种可能检验它从n过渡到下一 个整数n+1时是否仍然成立。

如果我们在有效地检验这点方面获得得成功,我们有可能利用检验过程中 所得到的经验来得出结论:如果此推论对 n成立,则它对n+1也必成立。只要上 述结论成立,我们知道当n=1,此推论成立就足够了,于是n=2成立,于是n=3 成立,等等;从任一整数过渡到下一个整数,我们就普遍化地证明了此推论。

上述过程是常用的,它应该有个名字。我们可以叫它“从 n到n+1的证明” 或更简单些,“过渡到下一个整数”。遗憾,我们所必需证明的精确推断可来 自任何来源,从逻辑观点看来,来源如何,无关紧要。现在,在许多情况下, 例如方才所详细讨论的情况,其来源是归纳,推论是用实验方式找到的,冈此 证明象是归纳的一种数学补充;这是对上述名称的一点解释。

(7)这里还有一点,虽然微小,但对任何期望自己去证明的人来说却很重 要。在前面,我们通过观察与归纳,找到两个不同的推论,一个在第1点一个在 第2点;后者比前者更精确。在讨论第二个推论时,我们发现有检验从n过渡到 n+1的可能性,于是我们能够用“数学归纳法”找到一个证明。如果讨论第一个 推论而不考虑由第二推论所添加的精确性,我们就几乎不可能找到这样一个证 明。事实上,第一个推论不及第二个精确、“明显”、“明确”、易试验和易 检查。从第一推论过渡到第二推论,从比较不精确的陈述过渡到精确的陈述是 为最后证明所作的一种重要准备。

上述情况有矛盾的一面。第二个推论更强些;它直接蕴含着第一个,而多少有点“含糊”的第一个推论却几乎不蕴含更“清晰”的第二个推论。这样,更强的定理却比较弱的更易掌握;这是“发明家的矛盾”。