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3.辅助问题

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  • 3.辅助问题

辅助问题是这样一个问题,我们考虑它并非为了它本身,而是因为我们希 望通过它帮助我们去解决另一个问题,即我们原来的问题。原来的问题是我们 要达到的目的,而辅助问题只是我们试图达到目的的手段。

一只飞虫企图穿过窗户玻璃逃出去,它在同一扇窗户上试了又试,而不去 试试附近打开的窗户,而那扇窗户就是它进来的那扇。人能够或者至少能够行 动得更聪明些。人的高明之处就在于当他碰到一个不能直接克服的障碍时,他 会绕过去;当原来的问题看起来似乎不好解时,就想出一个合适的辅助问题。 构想一个辅助问题是一项重要的思维活动。举出一个有助于另一问题的清晰的 新问题,能够清楚地把达到另一目标的手段设想成一个新目标,这都是运用智 慧的卓越成就。学会(或教会)怎样聪明地处理辅助问题是一项重大任务。

(1)例子。求满足方程的x值:

x4-13x2+36=0 如果我们看到x4=(x2)2。我们就会发现引入 y=x2

的好处。我们现在得到一个新问题:求满足方程的y值:

y2-13*y+36=O。 这个新问题是一个辅助问题;我们打算把它用作解决原问题的手段。辅助问题 的未知数y可恰如其份地称为辅助未知数。

(2)例子。在一长方体中已知由一顶点引出的三个棱的长度,求该长方体的对角线。

在试图求解这一问题(第8节)时,我们可由类比(第15节)引导到另一问题:

在一长方形中,已知由同一顶点引出的两个边的长度,求长方形的对角线。

这个新问题是个辅助问题:我们之所以考虑它是因为我们希望从对它的考 虑中引出对原问题有用的东西。

(3)好处。考虑辅助问题的好处可以是多种多样的。我们可以利用辅助问 题的结果。譬如在例1中,通过求解y的二次方程,我们已经求得y等于4或等于9, 然后我们推得 x2=4或x2=9,从而求出x的所有可取的值。在其它情况下,我们 可以利用辅助问题的方法。如例2中,辅助问题是平面几何问题;它类比于原来 的立体几何问题,但更为简单。引入这一类辅助问题是合理的,因为我们希望 它是有启发性的,它能给我们机会去熟悉以后可用于原问题的某些方法、操作 或工具。在例2中,辅助问题的选择更为幸运,因为仔细地考察它一番之后,我 们发现其方法与结果均可加以利用(见第15节和“你是否利用了所有的数据?” 那一节)。

(4)风险。我们不去考虑原问题,而花费时间与精力去注意辅助问题。如 果我们对辅助问题的研究失败了,那末我们在它上面所花的时间与精力就白白 损失了。所以在选择辅助问题时,我们应当加以判断。对于我们的选择,我们 可能有各种正当理由。辅助问题可以比原来的问题更容易理解;或者它看来更 富启发性;或者它有某种美的号召力。有时,辅助问题的唯一优点是它很新颖, 提供了尚未被探索过的可能性;我们选择它是因为我们对原问题厌倦了,并且 看来似乎所有的方法部已用尽了。

(5)怎样找出它。发现所提问题的解,常常有赖于发现一个合适的辅助问 题。令人不愉快的是,没有万灵的方法来发现合适的辅助问题,正如没有万灵 的方法求解一样。但无论如何,确实有一些问题和建议,它们常常是有所裨益 的。例如,看着未知数。通过问题的变化常常会使我们想到有用的辅助问题。

(6)等价问题。如果两个问题中每一问题的解都蕴含另一问题的解,就说这两个问题是等价的。因此,在例1中,原问题与辅助问题等价。

考虑下列定理: A.在任何等边三角形中,每一角均等于60°。 B.在任何等角三角形中,每一角均等于60°。

此二定理不能看作是同一条定理。它们包含不同的概念:一个与边的相等 有关,另一个与三角形的角相等有关。但每一定理都可由另一定理得出。因此 求证题A与求证题B等价。

如果我们需要求证A,则引入求证题B作为一个辅助问题是有某些好处的。 定理B的证明要比证明A容易些,而且更重要的是,我们可以预见到B比A容易; 我们可以这样判断,我们可能从一开始就发现B很可能比A容易。事实上,定理B 仅与角有关,它比定理A更“单一”,定理A与角和边都有关。

如果原问题和辅助问题是等价的,则从原问题过渡到辅助问题称为可逆化 归,或双向化归,或等价化归。例如,A化归为B(见上文)是可逆的,例1中的化 归也如此。从某个方面说来,可逆化归比其它引入辅助问题的方法更重要,更 令人想往,但是那些和原问题不等价的辅助问题可能也很有用;见例2。

(7)等价辅助问题链。等价辅助问题链在数学论证中是屡见不鲜的。我们 需要解决问题A;我们看不出解答,但我们可能发现A与另一问题等价。考虑B 时,我们又可能涉及与B等价的第三个问题C。照这样下去,我们又可将C化为 D, 如此等等,直到最后得到问题L,其解答为已知或明显可知。既然每一个问题都 和前一个问题等价,则最后一个问题也必定和原问题A等价。于是我们能够从问 题L推出原问题 A的解答,而L是辅助问题链的最后一个环节。

这种问题链,正如我们从帕扑斯的重要章节中所见,早已为希腊数学家所注意。我们重新考虑例1作为说明。让我们称(A)为未知数x的条件:

(A)   x4-13x2+36=O

解决这个问题的一种方法是将所提出条件变换成另一个条件,称为(B):

(B)   (2x2)2-2(2x2)·13+144=O 我们观察到条件(A)与条件(B)不同。如果你愿意,你可以说它们仅仅稍许有些 不同。你会很容易相信它们一定等价,但它们肯定不是同一个方程。从(A)过渡 到(B)不仅正确,而且有清楚的目的,这对任何熟悉求解二次方程的人来说都是 显而易见的。沿此一方向继续做下去,我们可将条件(B)再变换成另一条件(C):

(C)   (2x2)2-2(2x2)·13+169=25

照此方法继续下去,我们有

(D) `(2x^2-13)^2=25 `

(E) `2x^2-13=±5`

(F) `x^2=(13±5)/2`

(G) \(x= \pm \sqrt {\frac{13\pm 5}{2}}\)

(H)    x=3或-3,或2,或-2
我们所做的每次化归都是可逆的。于是最后一 个条件(H)与第一个条件(A)等价,所以,3、-3、2、-2是我们原问题所有可能 的解。

上面我们从原条件(A)导出一系列条件(B),(C),(D),……,每一个都等 价于前一个。这一点值得我们给予最大的注意。等价条件是由同一对象满足的。 因此,如果我们从所提条件过渡到等价于它的新条件,我们就有相同的解。但 是如果我们从所提条件过渡到较窄的条件,我们就失去解;如果我们从所提条 件过渡到较宽的条件,我们则得到非正常的外来解,它与所提问题无关。如果 在一串连续的化归中,我们过渡到较窄的,接着又过渡到较宽的条件,我们可 能完全偏离原来的问题。为了避免这种危险,我们必须小心地检查每次新引入 的条件的性质:它与原条件等价吗?当我们所处理的对象不是像这里的单个方程 而是一组方程时,或者当条件不是用方程来表达(例如,象几何作图问题)时, 上述问题尤为重要。

[请与“帕扑斯”一节,特别是评注(2),(3),(4),(8)相比较。那里的 描述受到了不必要的限制。它描述一个求解问题的链,其中每个问题都有一个 不同的未知数。这里所讲的例子则相反,链中所有各个未知数相同,仅仅是条 件的形式不同。当然,并不需要这种限制。]

(8)单向化归。我们有两个都未曾求解的问题A与B。如果我们能解A,则我 们能导出B的完全解。反之则不然;即,如果我们能解B,我们可能会得到A的某 些信息,但我们却不知道怎样从B导出A的完全解。在这样一种情况下,解 A要 比解B收获大。让我们称A为这两个问题中的期望大的而B为期望小的。

如果从所提问题过渡到期望大的或期望小的辅助问题,我们称这一步骤为单向化归。有两类单向化归,二者在某些方面都比双向或可逆化归更冒风险。

例2说明的是化归为期望小的问题的一个单向化归。事实上,如果我们能 够解决属于长、宽、高分别为a,b,c的长方体的原问题,令c=O,得到长为a, 宽为b的长方形,则我们就转到辅助问题。化沟期望小的问题的单向化归的另一 例子是“特殊化”这一节的(3),(4),(5)。这些例子表明,有时凑巧,我们可 能利用期望小的问题作为踏脚石,将辅助问题的解加上适当的补充说明,可以 得到原问题的解。

化为期望大的问题的单向化归也可能会成功(见“普遍化”这一节(2)及“归 纳与数学归纳法”这一节(1),(2)中所述第一问题化为第二问题的例子)。事实 上,期望人的问题可能更容易着手;这就是“发明者的矛盾”。