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11.理发师悖论

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11.理发师悖论

成长吧啊

M:著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着:

告示:城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸,我也只给这些人刮脸。

成长吧啊

M:谁给这位理发师刮脸呢?

M:如果他自己刮脸,那他就属于自己刮脸的那类人。但是,他的招牌说明他不给这类人刮脸,因此他不能自己来刮。

成长吧啊

M:如果另外一个人来给他刮脸,那他就是不自己刮脸的人。但是,他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来,没有任何人能给这位理发师刮脸了!

伯特纳德·罗素提出这个悖论,为的是把他发现的关于集合的一个著名悖论用故事通俗地表述出来。某些集合看起来是它自己的元素。例如,所有不是苹果的东西的集合、它本身就不是苹果,所以它必然是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是它本身的元案的集合组成的集合。这个集合是它本身的元素吗?无论你作何回答,你都自相矛盾[*]。

在逻辑学历史上最富戏剧性的危机之一就与这条逆论有关。德国的著名逻辑学家哥特洛伯·弗里兹写完了他最重要的著作《算法基础》第二卷,他认为他在这本书中确立了一套严密的集合论,它可作为整个数学的基础。1902年,当该书付印时,他收到了罗索的信,他得知上面那条悖论。弗里兹的集合论容许由一切不是它自身的元素的集合构成的集合。正如罗素在信中澄清的,这个表面上结构完美的集合却是自相矛盾的。弗里兹在收到罗素的信后,只来得及插入一个简短的附言:

“一个科学家所遇到的最不合心意的事,莫过于是在他的工作即将结束时使其基础崩溃了,我把罗素的来信发表如下……”

据说,弗里兹使用的词“不合心意”(undesirable)是数学史上最词不达意的说法了。


[*]设对于一类集合,\(A_1= \{a_{11}, a_{12}, … a_{1i} …\}\)\(A_2= \{a_{21}, a_{22}, … a_{2i} …\}\),……,\(A_i= \{a_{i1}, a_{i2}, … a_{ij} …\}\) 都满足条件 \(a_{ij}\in A_i (i=1, 2, … j=1, 2, …)\)\(A_i\in A_i\)  一切这类集合物成新集合 \(A=\{A_1, A_2, … A_i, …\} A_i \in A\) ,问 \(A \in A\)  ?如果认为 \(A \in A\) ,则 `A` 应该不是自身集合的元素,即 \(A \notin A\) ,如果 \(A \notin A\) ,`A` 就应是本集合的元素,即 \(A \in A\) ,岂非矛盾——译注