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递推数列

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1. \({a_{n + 1}} = {a_n} + f\left( n \right)\)类型

方法:迭加法(累加法).

\({a_2} = {a_1} + f\left( 1 \right)\),\({a_3} = {a_2} + f\left( 2 \right)\),…,\({a_n} = {a_{n - 1}} + f\left( {n - 1} \right)\),

得\({a_n} = {a_1} + \mathop \sum \limits_{k = 1}^{n - 1} f\left( k \right)\).

2. \({a_{n + 1}} = {a_n}f\left( n \right)\)类型

方法:迭代法.

\({a_2} = {a_1}f\left( 1 \right)\),\({a_3} = {a_2}f\left( 2 \right)\),…,\({a_n} = {a_{n - 1}}f\left( {n - 1} \right)\),

得\({a_n} = {a_1}\prod\limits_{k = 1}^{n - 1} {f\left( k \right)} \). 这里也可以叫累乘法.

3. `{a_{n + 1}} = p{a_n} + q` (`p,q`是常数且 `p\ne 1,q\ne 0`)类型

方法: 用待定系数法,构造一个公比为p的等比数列,令 `{a_{n + 1}} + \lambda  = p({a_n} + \lambda ),(p - 1)\lambda  = q,\lambda  = \frac{q}{{p - 1}}`, 从而 `\{a_n + \frac{q}{{p - 1}}\}` 是一个公比为 `p` 的等比数列.

4. ${a_{n + 1}} = \frac{{{a_n}}}{{p{a_n} + q}}(p,q \ne 0)$ 类型     

方法:两边同时取倒数,化归为第三类问题.

5. ${a_{n + 1}} = p{a_n} + f(n)$ (`p`为常数且 `p\ne 1`) 类型   

方法:同时除以 ${p^{n + 1}},\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{p^{n + 1}}}} = \frac{{{a_n}}}{{{p^n}}} + \frac{{f(n)}}{{{p^{n + 1}}}}$ , 令 $\frac{{{a_n}}}{{{p^n}}} = {b_n}$. 有 ${b_{n + 1}} = {b_n} + \frac{{f(n)}}{{{p^{n + 1}}}}$ ,转化为第一种类型,用迭加法解决.

6. ${a_{n + 1}} = p{a_n} + q{a_{n - 1}}$ ($n \geqslant 2,p,q$ 为常数) 类型  

方法:可用下面的定理求解.

定理1:令 $\alpha ,\beta $ 为相应二次方程\({x^2} - px - q = 0\)

则当 $\alpha  \ne \beta $ 时 ${a_n} = A{\alpha ^n} + B{\beta ^n}$ ; 当 $\alpha  = \beta $ 时, ${a_n} = (A + Bn){\alpha ^{n - 1}}$, 其中A,B分别由初始条件 `a_1,a_2` 所得的方程组 `\left\{ \begin{array}{l}A\alpha  + B\beta  = {a_1}\\A{\alpha ^2} + B{\beta ^2} = {a_2}\end{array} \right.,\left\{ \begin{array}{l}A + B = {a_1}\\(A + 2B)\alpha  = {a_2}\end{array} \right.`  唯一确定.

7. `{a_{n + 1}} = \frac{{\alpha {a_n} + \beta }}{{{a_n} + \gamma }}` (`\alpha ,\beta ,\gamma `是常数) 类型            

方法:不动点法.先求出分式线性函数 `\frac{{\alpha x + \beta }}{{x + \gamma }}` 的不动点,即由 `x = \frac{{\alpha x + \beta }}{{x + \gamma }}` 得出不动点 `x_1,x_2`.

若\({x_1} \ne {x_2}\) ,则可得\(\{ \frac{{{a_n} - {x_1}}}{{{a_n} - {x_2}}}\} \) 是一个等比数列; 若 `x_1=x_2`, 则 $\{ \frac{1}{{{a_n} - {x_{1,2}}}}\} $ 是一个等差数列.