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超纲--下一次数学突破会在哪里?

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超纲--下一次数学突破会在哪里?

作者:申力立

数学界从来不缺天才,数学界从来不缺重大的突破。事实上,现代社会从事科研的人数比以前多了不知多少倍,所以现代科学(包括数学)的发展和突破的速度超越了以往任何一个时代。(即《三体》里大刘所说的「技术爆炸」)

数学界从来不缺天才,数学界从来不缺重大的突破。事实上,现代社会从事科研的人数比以前多了不知多少倍,所以现代科学(包括数学)的发展和突破的速度超越了以往任何一个时代。(即《三体》里大刘所说的「技术爆炸」)

数学界从来不缺天才,数学界从来不缺重大的突破。事实上,现代社会从事科研的人数比以前多了不知多少倍,所以现代科学(包括数学)的发展和突破的速度超越了以往任何一个时代。(即《三体》里大刘所说的「技术爆炸」)

如果你没有做过数学、物理等前沿学科的博士,你是完全无法想象现代前沿科学是什么样的。其抽象程度、推导的复杂程度、需要的知识储备是大大超出一般圈外人的想象的。

举一些 20 世纪以后数学重大突破的实例:

Gödel's incompleteness theorem(哥德尔不完全性定理):由 Kurt Gödel 证明,它使得人们一直以来寻求「完美的数学公理系统」的希望破灭——你永远不可能找到一个完美的数学公理系统,使得所有的数学命题都可以被证明或证伪。一个著名的例子就是连续统假设(CH)——以前数学家们孜孜以求的连续统假设的答案,是它和现代数学所采用的 ZFC 公理系统独立,即 ZFC+CH 不会有矛盾,ZFC+ㄱCH 也不会有矛盾。

Category theory(范畴论):一个不同于集合论的、可以作为现代数学基础的理论基石。由 Samuel Eilenberg 和 Saunders Mac Lane 创立,另外 F. William Lawvere、Alexander Grothendieck 等数学家都为之做出了巨大贡献。大家知道集合论的基本概念是「元素」,而范畴论不再关心元素,而关心不同对象之间的联系,这更能抓住很多抽象数学机构的本质特征。例如,一个经典的例子是 Gelfand representation,交换 C*代数构成的范畴和紧 Housdorff 空间构成的范畴是等价的。范畴论不仅是代数几何等前沿数学分支的理论基础,还为理论计算机和物理的发展提供了强大的范畴论工具。

Poincaré conjecture(庞加莱猜想):1961 年 Steven Smale 证明了五维以上的情形,1981 年 Michael Freedman 证明了四维情形,2003 年 Grigori Perelman 证明了三维情形,从而彻底解决。三人都因其对庞加莱猜想的贡献各自获得菲尔兹奖。关于它的意义我无法用初等语言来描述(事实上我自己也不是很明白——我不是做几何的),微分几何与现代物理的深刻联系需要许多预备知识才能理解。事实上,现代数学最难且最热门的分支就是几何(包括微分几何、代数几何等),它是与现代物理关系最紧密的数学分支,也是聚集了最多数学天才的分支,最近几十年里这方面的突破性进展数不胜数,只是我资质愚钝表示都看不懂。

2013-10-07