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负负得正--负数与负数相乘为什么会得正?

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负负得正--负数与负数相乘为什么会得正?

作者:曹文雯 王彦博

曹文雯

目测上方好多好多字母……来给个汉字的答案:

数学来源于生活,特别是这些基础运算规则……所以数学规定是需要跟生活实际相吻合的:

(补充 1:这里我指的是,特别基础的数学,实际上是起源于……呃……广大劳动人民的智慧……差不多这个意思吧。类似于各地都会发明轮子。负数这种程度的概念也是各地独立开始使用的,因此这类「大家先用着,然后才有数学家来总结」的规则,是需要符合生活实际的。

于是我们来举个例子,比如慢慢取经路好了。

首先,负数可以用于表示方向的相反:

于是我们用+3 表示向西走 3 米,那么-3 表示向东走 3 米。

其次,我们知道乘法常用于表示每份数与份数:

比如 +3(每天向西走 3 米)×4 天=+12(在原来的西边儿 12 米)

-3(每天向东走 3 米)×4 天= -12( 在原来的东边儿 12 米)

于是我们知道一个数乘上正数(上例中的 4 天),符号不应当改变。

然后我们遇到了负数乘负数,于是我们需要知道啥叫 -1 天:

这个类比方向,相当于在时间轴上向另一个方向走,因此-1 天表示一天前,-4 表示四天前。

好啦,现在我们可以来看看啥叫(-3)×(-4)了:

这是每天向东走 3 米,4 天前你在哪里?根据生活常识,我们知道答案是西边儿 12 米。

于是我们有:(-3)×(-4)=12

(补充 2:这个场景中,我们默认「一直在走」,即「现在」时刻并非「开始走」的时刻,而是持续的走的过程中选取的某个时刻。因此请不要纠结「昨天还没开始走所以仍旧在原地」这样的问题……谢!)

2012-09-05

王彦博

我也曾有这样的疑问,后来从 Courant 的著作《什么是数学》中看到一段话,解答了我的疑惑。

将这段话摘出来分享给题主。

引进负数之后,我们必须定义它们的运算规则,使得算术运算能够保持原来的规律不变。例如,我们对负数乘法规定 (-1)(-1)=1 ,这是我们希望保持分配律 a(b+c) = ab + ac 的结果。因为如果我们让(-1)(-1)=-1,就会有-1(1-1) = -1-1=-2 (嗯,于是有负数参与的运算就不能满足「分配律」这一整数运算中最基本的规律了)。 对数学家来说,经过了很长的一段时间才认识到「符号规则」以及负数、分数所服从的其他定义是不能加以「证明」的,它们是我们创造出来的,为的是在保持算数基本规律的条件下使运算能够自如。

甚至伟大的欧拉也曾借助于一个完全不令人信服的讨论来证明(-1)(-1)必须等于+1。欧拉说:因为(-1)(-1)必须是+1 或-1,而由于(-1)=(+1)(-1),所以(-1)(-1)必须不能是(-1)。

(以上摘自《什么是数学》,第二章、 数学中的数系,第一节:有理数,作者:R. 柯朗)

摘出来的这段话讲得还是太笼统,如果可以翻看一下原书的此一章节,相信理解会更深刻,另外关于上文中加粗的「使运算能够自如」一句,书中也有更深入的解释。

PS: 欧拉那个证明好搞笑。

2013-05-22