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解三角形

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一般地,把三角形的三个角A、B、C和它的对边a,b,c叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

解三角形基本思路

①已知三边,先用余弦定理求角;

②已知两边夹角,先用余弦定理求第三边,再用正弦定理其较小角;

③已知两边及一边的对角,先用正弦定理求角,注意有解、无解、多解的分析;

④已知一边及两角,用正弦定理求边.

三角形内角和与诱导公式

(1)\(A+B+C=\pi\Rightarrow A+B=\pi-C\)

则 \(\sin (A+B)=\sin C\),

\(\cos(A+B)=-\cos C\),

\(\tan(A+B)=-\tan C\iff\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C\).

(2)\(\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}+\dfrac{C}{2}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow\dfrac{A}{2}+\dfrac{B}{2}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{C}{2}\)

则 \(\sin{(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}=\cos \frac{C}{2}\),

\(\cos {(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}=\sin \frac{C}{2}\),

\(\tan{(\frac{A}{2}+\frac{B}{2})}=\dfrac{1}{\tan \frac{C}{2}}\iff\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2}+\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}=1\).