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绝对值不等式

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定理1 如果 `a,~b` 是实数, 则 `\left| a+b \right| \leqslant \left| a \right|+\left| b \right| `, 当且仅当 `ab \geqslant 0` 时, 等号成立.

`\left| a \right|-\left| b \right| \leqslant \left| a+b \right| \leqslant \left| a \right|+\left| b \right| `;

`\left| a \right|-\left| b \right|\leqslant\left| a-b \right|\leqslant \left| a \right|+\left| b \right| `;

定理2 如 果 `a,~b,~c` 是实数, 则 `\left| a-c \right| \leqslant \left| a-b \right|+\left| b-c \right| `, 当且仅当 `(a-b)(b-c) \geqslant 0` 时, 等号成立.

绝对值不等式的解法

一般的, 如果 `a>0` , 那么

 `\left| x \right|<a \iff -a<x<a`;

 `\left| x \right|>a \iff x<-a ~或~x>a`.

  • 绝对值不等式的解法

利用绝对值的定义,去掉绝对值的符号,将其转化为不等式组求解,或用其等价形式求解,当含有多个绝对值时要分段讨论.

(1) `|f(x)|<g(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge 0 \\ f(x)<g(x) \end{cases}` 或 `\begin{cases} f(x)< 0 \\ -f(x)<g(x) \end{cases}`;

即 `|f(x)|<g(x) \iff -g(x)<f(x)<g(x)`.

(2)`|f(x)|>g(x) \iff \begin{cases} f(x)\ge 0 \\ f(x) > g(x) \end{cases}` 或 `\begin{cases} f(x)< 0 \\ -f(x) > g(x) \end{cases}`;

即 `|f(x)|>g(x) \iff f(x)<-g(x) 或 f(x)>g(x)`.

(3)`|f(x)|>|g(x)| \iff [f(x)]^2>[g(x)]^2`.

(4)形如 `|x-a|+|x-b|<c` 的不等式可利用定义分段讨论.