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结束语

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随着康托尔的超限基数喧嚣着走向无限的无穷大,至此,我们结束了我们参拜大师的数学之旅。这是一个漫长的旅程——从希俄斯的希波克拉底一直到20世纪。我希望这一旅程能够以其强大的阵容和辉煌的表演给人留下深刻的印象。这是一段值得口口相传的故事。

我们在第四章讨论拉玛努扬时曾提到过G.H.哈代,他对数学证明中的美学有一种强烈的感受。哈代认为,真正的伟大定理应该具有三个特点,即,精练必然意外。我认为,这些性质极恰当地概括了我们所讨论的定理的特征。欧几里得对素数无穷性的证明堪称简明、优雅和“精简”。约翰·伯努利的一系列无穷级数必然导致调和级数的发散性,犹如人们在讲到阿基米德数学时那样,“只要看上一眼,就立刻相信,本来你也能够发现它。”我们讨论的许多命题,从新月形的化方求积,到三次方程的可解,以及乔治·康托所发现的一切,都是令人感到非常意外的。总之,我希望哈代会认可我所选择的这些“伟大定理”。

最后,我将以两段引文结束本书。这两段引文虽然相距1500年,但却传达了几乎完全同一的思想。第一段引文出自5世纪希腊评注家普罗克洛斯之笔:

“所以,这就是数学:她赋予自己的发现以生命;她令思维活跃,精神升华;她烛照我们的内心,消除了我们与生俱有的蒙昧与无知。”

我们在本书的序言部分曾引述过20世纪伯特兰·罗素的一段话,最后,我再引述他的另一段话。罗素认识到数学中的美,他也像其他任何人一样,尽力描绘这种美。我最后引述他的一段评论,并希望它能够代表读者对本书中这些数学杰作的感受:

“正确地说,数学不仅拥有真理,而且,还拥有极度的美——一种冷静和朴素的美,犹如雕塑那样,虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容,没有绘画或音乐那样华丽的外衣,但是,却显示了极端的纯粹和只有在最伟大的艺术中才能表现出来的严格的完美。”