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第四章 阿基米德的求圆面积定理

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第四章 阿基米德的求圆面积定理(公元前约225年)

阿基米德生平

欧几里得到我们将要介绍的下一位伟大数学家——叙拉古城举世无双的阿基米德(公元前287—212年)之间,经历了两三代人之久。阿基米德在其辉煌的数学生涯中,将数学疆界从欧几里得时代向前推进了一大步。实际上,此后将近两千年,数学界再没有出现过像阿基米德这样伟大的数学家。

我们有幸了解一些阿基米德的生平,但因为历经沧桑,其细节的真伪往往受到怀疑。同时,他的一些数学著作也有幸流传下来,而且有他自己的注解。所有这些资料,为我们描绘了这位曾经统治古代数学界,受人尊敬,但又有点儿古怪的数学天才的一生。

阿基米德出生于西西里岛的叙拉古城。据说,他的父亲是一位天文学家,阿基米德从小就萌发了研究宇宙的兴趣,终生乐此不疲。阿基米德青年时代也曾到过埃及求学,并在亚历山大图书馆学习。这里曾是欧几里得治学之处,阿基米德自然也会受到欧几里得的影响,这一点在阿基米德的数学著作中可以很清楚地看出。

据说,阿基米德在尼罗河谷期间,曾发明了所谓“阿基米德螺旋水车”,这种装置可以用来把水从低处提到高处。有趣的是,这一发明,直至今日仍在使用。他的发明证明了阿基米德的双重天才:他既可以脚踏实地地研究实际问题,又能够在最抽象、最微妙的领域中探索。亚历山大显然适合发挥他的才干,但阿基米德还是返回了他的故乡叙拉古城,据我们所知,就在那里度过了他的后半生。叙拉古城虽然十分闭塞,但阿基米德一直保持着与全希腊,特别是与亚历山大学者们的通信联系。这种书信往来,使得阿基米德的许多著作得以保存。

阿基米德能够在一段时间里非常专注地研究任何问题,更加提高了他令人敬仰的数学才能。他在进行研究时,常常会忽略日常的生活问题。我们从普卢塔克的著作中得知,阿基米德

“……忘记了吃饭,甚至忘记了他自己的存在,有时,人们会强制他洗浴或敷油,他都浑然不知,他会在火烧过的灰烬中,甚至在身上涂的油膏中寻找几何图形,完全进入了一种忘我的境界,更确切些说,他已如醉如痴地沉浸在对科学的热爱之中。”

这一段文字描绘了这位数学家心不在焉的形象,对于阿基米德来说,整洁似乎已与他无关。当然,有关阿基米德“心不在焉”的故事,最著名的还是关于叙拉古城国王希伦的王冠的故事。国王怀疑金匠用一些合金偷换了他王冠上的黄金,就请阿基米德来测定王冠的真正含金量。正如故事所说,阿基米德一直解不开这道难题,有一天(在他少有的一次洗浴时),他忽然找到了答案。他兴奋得从浴盆里跳出来,跑到叙拉古城的大街上,边跑边欢呼:“我找到啦!我找到啦!”但遗憾的是,他完全沉浸在他的新发现之中,竟然忘记了还没穿衣服。很难想象街上的人们看见他一丝不挂地招摇过市,会说些什么。

这个故事也许是杜撰的,但阿基米德发现流体静力学的基本原理却是千真万确的。他留给我们一篇题为《论浮体》的论文,阐述了他在这一方面的思想。除此以外,他还发展了光学,创立了机械学,他不仅发明了水泵,而且还发现了杠杆、滑轮和复式滑轮的工作原理。普卢塔克记叙过这样一个故事:多疑的希伦国王怀疑这些简单机械装置的能力,就请阿基米德实际演习一下。阿基米德以一种戏剧般的方式满足了国王的要求,他选择了国王一艘最大的船只,

“……如果不花费巨大人力,是无法把这艘大船拖离船坞的,况且,船上还满载乘客和货物。阿基米德坐得远远的,手里只握住滑轮的一端,不慌不忙地慢慢拉动绳索,船就平平稳稳地向前滑动,就像在大海里航行一样。”

不用说,国王对此留下了深刻印象。或许,他从这件事中察觉了这位天才科学家的某种宝贵才能,遇有危难关头,这样的工程天才可以派上用场。公元前212年,罗马人在马塞卢斯率领下,进攻叙拉古城,危难关头来临。面对罗马的威胁,阿基米德奋起保卫自己的家园,他设计了许多杀伤力很强的武器。他的这项事业,或许只能称为个体军工企业。

我们继续引用普卢塔克的《马塞卢斯生平》一书,这本书是这位伟大的罗马传记作家在事件发生后约300年时写的。普卢塔克虽然是在为马塞卢斯作传,但他对阿基米德的钦敬心情却显而易见。这些描述使我们看到了一个非常引人,栩栩如生的阿基米德形象。

“马塞卢斯率领大军向叙拉古城进发,”普卢塔克写道,“并在离城不远处安营扎寨,又派使者进城劝降。”但叙拉古城人拒绝投降,马塞卢斯便凭借陆上的兵士和海上60艘装备精良的战船猛扑叙拉古城。马塞卢斯“……有备而来,历年征战,声威赫赫”,但事实却证明他敌不过阿基米德和他凶狠的守城器械。

据普卢塔克记载,罗马军团进逼城垣,自信战无不胜。

“但是,阿基米德开始摆弄他的器械,他对地面部队启动各种弹射武器,无数大小石块带着惊人的呼啸,猛烈地倾泻下来;乱石之中,无人能够站立,士兵乱了阵脚,纷纷被击中,成堆倒下。”

而罗马水师的情况也不见佳,

“……从城墙上伸出了长长的杆子,在船上方投下重物,将一些船只击沉;而其他船只则被一只只铁臂或铁钩钩住船头,提升起来……然后又船尾朝下,投入海底;同时,另一些船只在其引擎的拖动下,团团乱转,最后撞碎在城下突起的尖峭岩石上,船上的士兵死伤惨重。”

这种巨大的伤亡,用普卢塔克的话说,是“一件可怕的事情”,人们不会不同意他的说法。在这种情况下,马塞卢斯认为最好还是先撤退。他撤回了他的地面和海上部队,重新部署。罗马人经过认真研究,决定进行夜袭。他们以为,只要在夜幕掩盖下,贴近城墙,阿基米德的武器就没有用武之地了。然而,罗马人再次遭到了意外的打击。原来,不知疲倦的阿基米德已经为应付这种偷袭作好了充分的安排。罗马士兵一靠近城防,“石头就劈头盖脸地砸下来,同时,城内又射出飞箭”。结果,罗马人失魂落魄,不得不再次撤退,但又受到阿基米德远程武器的攻击,“损兵折将”。这次,自负的罗马军团“看到无形的武器给他们造成的重大伤亡,开始以为他们是在与诸神作战。”

或许,说马塞卢斯的军队士气低落亦不为过。他希望他这支受到重创的军队能够重振勇气,继续进攻,但是,以前自认为无敌于天下的罗马人却不愿再打了。相反,士兵们“只要看到城墙上伸出一小段绳索或一片木头,就立时大哗,以为阿基米德又对他们使用什么武器了,并转身落荒而逃。”马塞卢斯明白,小心即大勇,于是,他放弃了直接进攻。

马塞卢斯想以断粮逼迫叙拉古城人投降,所以,罗马军团开始长期围困叙拉古城。时间一天天过去,军事态势没有什么变化。后来,在狄安娜节日期间,叙拉古城居民“完全放松了警惕,他们纵酒狂欢”,松懈下来。一直在窥测时机的罗马人乘其不备,一举攻破了防守懈怠的一段城防,怀着一腔怨毒涌入叙拉古城。据说,马塞卢斯环视着这座美丽的城市,为他的士兵不可避免地要对叙拉古城泄怒施暴雨落下了眼泪。的确,据历史记载,罗马人对叙拉古城人的做法完全不亚于他们在66年后对迦太基人的暴行。

但是,阿基米德的死使马塞卢斯极为悲伤,因为他对这位天才的对手至为尊敬。据普卢塔克记载:

“……也许是命该如此,(阿基米德)正在专心研究几何图形,他全神贯注地思考,完全没有注意到罗马人的入侵,也没有注意到城市的陷落。正在他聚精会神地研究和思考的时候,没想到一个士兵前来,命令他立刻去见马塞卢斯;但阿基米德在没有解出他的几何证明题之前,拒绝跟他走。士兵大怒,拔出佩剑,一剑刺死了阿基米德。”

就这样,阿基米德走完了他的一生,他死了,像他活着时一样,执着于他所喜爱的数学。我们可以认为他是一位科学研究的殉难者,也可以认为他是自己无暇它顾的牺牲者。总之,古往今来,数学家不知有多少,但像阿基米德这样结局者,却是绝无仅有的。

阿基米德尽管发明了许多利器和工具,但他真正喜爱的还是纯数学。与他发现的美妙定理相比,他的杠杆、滑轮和石弩都不过是雕虫小技。我们还是引用普卢塔克的话来说明:

“阿基米德具有高尚的情操,深刻的灵魂和丰富的科学知识,虽然这些发明使他赢得了超乎常人的名望,但他并未屈尊留下任何有关这些发明的著述;相反,他却鄙薄工程学这一行当,以及任何仅仅出于实用和赢利目的的技艺,他将他的全部情感与理想寄托于与尘世无涉的思索之中。”

数学是阿基米德的最大遗产。在这一领域,阿基米德无可争议地被公认为古代最伟大的数学家。他的那些幸存下来的十几部著作及一些零散的文稿是最高质量的。其逻辑上的严谨与复杂,令后人惊叹不已。毫不奇怪,他一定非常精通欧几里得的理论并不愧为欧多克索斯穷竭法的大师;借用牛顿的名言,阿基米德一定是站在巨人的肩上。但是,过去的影响虽然很大,却不能充分解释阿基米德带给数学学科的巨大发展。

伟大的定理:求圆面积

公元前约225年,阿基米德发表了一篇题为《圆的测定》的论文,这篇论文中的第一个命题对圆面积作了十分透彻的分析。但是,在我们讲述这一不朽之作之前,我们有必要先介绍一下在阿基米德探讨这一问题时,有关圆面积问题的发展状况。

当时的几何学家已知,不论圆的大小如何,圆的周长与直径之比总是一定的。用现代术语,我们可以说

`\dfrac{C_1}{D_1}=\dfrac{C_2}{D_2}`

如图4.1所示,公式中的C代表周长,D代表直径。

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换句话说,圆的周长与直径之比是一个常数,现代数学家定义这一比率为π。(注意:古希腊人在这里不使用符号。)因此,公式

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正是表明了常数π的定义,即两个长度(圆的周长与直径)的比。

那么,圆的面积又如何呢?我们已经知道,《原本》的命题Ⅻ.2证明了两个圆的面积之比等于两圆直径的平方比,因此,圆面积与其直径的平方比是一个常数。用现代术语说,欧几里得证明了常数k的存在,因而

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至此,一切顺利。但是,这两个常数之间相互有什么关系呢?也就是说,人们是否能够发现在这“一维”常数π(表示圆周长与直径的关系)与“二维”常数k(表示面积与直径的关系)之间存在着一种简单的联系?显然,欧几里得没有发现这种联系。

然而,阿基米德在其短小精炼的论文《圆的测定》中证明了有关结果,而这相当于现代涉及π的求圆面积公式。在证明中,他在圆周长(及因此产生的π)与圆面积之间建立了重要联系。他的证明需要两个非常直接的初步定理和一种非常复杂的逻辑方法,称为双重归谬法(反证法)。

我们先来看这两个初步定理。一个是关于正多边形面积的定理,正多边形的中心为O,周长为Q,边心距为h。这里,边心距是指从多边形的中心引向任何一条边的垂线长度。

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简单明快。阿基米德的第二个定理当时也非常著名,而且显然是不证自明的。这一定理称,如果给我们一个已知圆,我们可以作圆内接正方形;欧几里得在命题IV.6中已证明过这种作图。当然,正方形的面积肯定小于其外接圆的面积。我们通过平分正方形的每条边,就可以确定圆内接正八边形的顶点位置。当然,正八边形比正方形更接近于圆的面积。如果我们再平分八边形的每条边,就可以得到圆内接正16边形,这当然比八边形又更接近圆的面积。

这一过程可以无限继续。实际上,这种方法的实质就是前面曾提到过的著名的欧多克索斯穷竭法。显然,内接正多边形的面积永远不会等于圆的面积;不论内接正多边形产生多少条边,都永远小于圆的面积。但是(这是穷竭法的关键),如果预先给定任一面积,不论其多小,我们都能作出一个内接正多边形,而使圆面积与其内接正多边形的面积之差小于这一预

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这一正多边形也许有几百条边或几千条边,但这并不重要,重要的是它存在

外切正多边形也具有类似的规律。我们可以用一句话来概括这两种正多边形的规律,即,对于任何已知圆,我们都可以作出它的内接正多边形或外切正多边形,其面积可任意接近圆的面积。正是这句“可任意接近”成为了阿基米德成功的关键。

以上就是阿基米德的两个初步命题。下面,我们有必要就他论证两个面积相等时所采用的逻辑方法作一个简单的介绍。在某种意义上,这种逻辑方法比我们以往所见到的任何方法都更复杂,或者说,至少更曲折。例如,我们可以回想一下,欧几里得是如何证明直角三角形斜边上正方形的面积等于两条直角边上正方形面积之和的:他直接推理,证明了问题中的面积相等。他的证明方法虽然非常巧妙,却只是正面论证。

然而,阿基米德在论证更为复杂的圆面积问题时,采用了一种间接证明的方法。他认为,任何两个量A与B,一定只能属于下列三种情况中的一种:A<B,或A>B,或A=B。为了证明A=B,阿基米德首先假设A<B,并由此推导出逻辑矛盾,因而排除这种情况的可能性。然后,他再假设A>B,并再次推导出逻辑矛盾。排除了这两种可能性后,就只剩下了一种可能性,即A等于B。

这就是阿基米德极为精彩的间接证明方法——“双重归谬法”,将三种可能性中的两种引入逻辑矛盾。这种方法初看起来似乎有点绕圈子,但细想一下就会觉得非常合理。排除了三种可能性中的两种,就迫使人们得出结论,只有第三种可能性是正确的。当然,没有人能比阿基米德更熟练地应用双重归谬法了。

依据这两个初步定理,我们就可以来看一看这位几何大师是如何证明《圆的测定》一书中的第一个命题的。

命题1 任何圆的面积都等于这样一个直角三角形的面积,该直角三角形的一条直角边等于圆的半径,另一条直角边等于圆的周长。 

证明 阿基米德首先作两个图形(图4.3):圆的圆心为O,半径为r,周长为C;直角三角形的底边等于C,高等于r。我们用A代表圆的面积,用T代表三角形的面积,而前者就是阿基米德求证的对象。显然, 

命题宣称A=T。为证明这一点,阿基米德采用了双重归谬法证明,他需要考虑并排除其他两种可能性。

例1 假设A>T。

这一假设表明,圆面积以一定量大于三角形面积。换言之,其超出量A-T是一个正量。阿基米德知道,通过作圆内接正方形,并反复平分正方形的边,他就可以得到一个圆内接正多边形,其面积与圆面积不等,且小于正量A-T。即

A-面积(内接正多边形)<A-T

不等式的两边各加上“面积(内接正多边形)+T-A”,得

T<面积(内接正多边形)

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但是,这是一个圆内接正多边形(图4.4)。因此,多边形的周长Q小于圆周长C,其边心距h当然也小于圆的半径r。我们据此得出

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至此,阿基米德推导出了预期的矛盾,因为他已得出T<面积(内接多边形)和面积(内接多边形)<T两种结论。这在逻辑上是不成立的,因此,我们得出结论,例1是不可能的;圆面积不能大于三角形面积。

现在,他来考虑第二种可能性。

例2 假设A<T。 

这次,阿基米德假设圆的面积小于三角形面积,因而,T-A代表三角形面积对圆面积的超出量。我们知道,我们可以作一个圆外切正多边形,其面积大于圆面积,但小于T-A。也就是

面积(外切正多边形)-A<T-A

如果我们在这一不等式两边各加上A,则

面积(外切正多边形)<T

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但是,外切正多边形(图4.5)的边心距h等于圆的半径r,而正多边形的周长Q显然大于圆的周长C。因此

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这样,就再次出现了矛盾,因为外切多边形的面积不可能既小于、又大于三角形的面积。因此,阿基米德推断,例2也是不可能的;圆面积不能小于三角形面积。

最后,阿基米德写道:“由于圆的面积既不大于、也不小于(三角形面积),因此,圆面积等于三角形面积。”证讫。

这就是阿基米德的证明,这颗小小的明珠出自一位无可争议的伟大数学家之手。阿基米德用圆面积既不大于、也不小于三角形面积的方法来证明这两个面积一定相等,这种证明方法使一些人感到甚为奇特。一些人感到这种论证方法太绕圈子,对他们我们不妨引述《哈姆雷特》中大臣波洛涅斯一句话的大意:“这虽则是疯狂,却有深意在内。”人们可能会感到奇怪,这么简短的证明方法,希波克拉底或欧多克索斯或欧几里得怎么会忽略了呢?事后聪明总是不难。这里,我们再次引述普卢塔克关于阿基米德数学的描述:

“在全部几何学中很难找到比这更困难更复杂的问题,以及更简洁更清楚的证明。有些人将此归于他的天赋;而另一些人则认为是他惊人的努力和勤奋产生了这些显然十分容易而又未被他人证明的定理。你费尽力气,仍然一无所获,可一旦看到他的证明,立刻就会认为,自己本来也能够推导出这些结论。他引导你,沿着一条平坦的捷径,得出预定的结果。”

既然阿基米德已证明圆的面积与三角形面积相等,那么,他是否可以解决我们曾在第一章中讨论过的人们长期探索的求圆面积问题呢?答案当然是否定的,因为要成功地解决圆的求积问题,就必须要作出与圆面积相等的直线图形。但是,阿基米德的证明没有,也没有声称能够提供任何有关如何作这种等面积三角形的线索。当然,作出三角形的一条直角边等于圆的半径并不难,难的是作出三角形的另一条直角边,使之等于圆的周长。因为C=πD,所以,要作出圆的周长,就必须作出π。我们已知,这种作图是根本不可能的。阿基米德的证明决不能被解释成他试图据此作出圆的等面积正方形;情况不是这样。

尽管如此,读者从阿基米德的定理中,也许仍然看不出我们所熟悉的求圆面积公式,因为他所证明的毕竟只是圆面积等于一定三角形的面积。但是,我们将看到,这正是典型的阿基米德方法——使一个未知图形的面积与一个更简单的已知图形面积相联系。然而,问题不仅如此。因为我们所说的三角形,其底边等于圆的周长,这里有两层重要含义。其一,阿基米德不像欧几里得那样,不是将一个圆的面积与另一个圆的面积相联系(这基本上是一种“相对性”的方法),而是将圆的面积与它自己的周长和半

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阿基米德就在一维概念的周长与二维概念的面积之间建立了联系。因为C=πD=2πr,我们可把阿基米德的定理重新写成

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这就出现了几何学中我们最熟悉,也是最重要的公式之一。

还应指出,阿基米德的命题显然包含了欧几里得关于两个圆面积之比等于其直径的平方比这一比较平淡的命题。也就是,如果我们设一个圆的面积为`A_1`,直径为`D_1`,设第二个圆的面积为`A_2`,直径为`D_2`,则阿基米德证明

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因此

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这就概括了欧几里得的定理。所以,阿基米德的命题足以表明欧几里得的命题是一个不甚重要的系定理。因而,阿基米德的命题标志着数学上的一个真正进步。

回头再看以前的讨论,现在我们能够确定“欧几里得”表达式`A=KD^2`中常数k的数值。因为根据阿基米德的发现,我们知道,

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“一维”圆周长常数π的四分之一。所以,阿基米德的命题带给我们一个好消息,我们无需计算这两个不同的常数。如果我们能够从圆周长问题中确定π的值,就能够将其应用于圆面积公式。

这后一点也没有难倒阿基米德。实际上,在《圆的测定》一书的第三个命题中,他就推导出了常数π的值。

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数,阿基米德的命题就成为3.140845……<π<3.142857……:这样,就确定了常数π的值,精确到两位小数,为3.14。

阿基米德得出π的估计值,又一次显示了他的才能。他准备再次应用他非常有用的圆内接和外切正多边形,不同的是,这次他不再求面积,而将注意力集中在多边形的周长上。他首先作圆内接正六边形(图4.6)。已知正六边形的边长等于圆的半径,其长度我们称之为r。因此,

成长吧啊

当然,这是对π值的非常粗略的估计,但阿基米德刚刚迈出第一步。接下来,他将这一内接多边形的边数加倍,得到一个正12边形。他必须计算出这个12边形的周长。正是在这个问题上,他使现代数学家惊叹不已,因为要确定十二边形的周长,就要算出3的平方根。当然,我们今天使用计算器或计算机,这已不是什么难事,但在阿基米德时代,不仅这些先进设备无法想象,而且,甚至没有帮助进行这种计算的适当数系。阿基米德对`\sqrt{3}`的数值作了如下估计:

随后,阿基米德继续平分内接多边形的边,得到正24边形,然后是正48边形,最后得到正96边形。在这一过程中,每一步他都要估算复杂的平方根,但他从不动摇。当他得到96边形时,他的估算值为

成长吧啊

阿基米德似乎意犹未尽,又转向外切正12边形、24边形、48边形

成长吧啊

是糟糕透顶的数系,而且没有估算平方根的简单方法,但他的估算证实了他令人敬畏的才华。这些计算采用了笨拙的算术方法,犹如一个人戴着沉重的镣铐参加高栏赛跑。然而,阿基米德凭借他的智慧和毅力,成功地计算出了重要常数π的第一个科学近似值。犹如本章后记所述,自此,科学家再不曾停止过寻求高精确度的π近似值。

《圆的测定》一书流传到我们手中,只有三个命题,不过薄薄几页。而且,第二个命题也不恰当,难以令人满意。毫无疑问,这是阿基米德谢世后多少年来低劣的抄写、编辑和翻译造成的。表面看来,这样短的论文似乎不太可能产生这样大的影响。但试想在第一个命题中,阿基米德就证明了关于圆面积的著名公式;在最后一个命题中,他又出色地给出了π的近似值,这篇短论文何以得到历代数学家高度评价,就显而易见了。论文的优劣不在于篇幅长短,而在于其数学质量。根据这一标准,《圆的测定》一书不愧是一部经典之作。 

阿基米德名作:《论球和圆柱》 

上述三个命题仅仅讨论了阿基米德数学遗产的一部分,除此以外,他还写过有关螺线,劈锥曲面和椭球体的几何论文,并发现了通过求一无穷几何级数之和来确定抛物线弓形面积的方法。这后一个问题(求曲线面积),现在属于微积分领域,由此可见,阿基米德超越他所处的时代有多么远。

然而,相对于所有这些成就,他无可争议的代表作则是一部内容广泛的两卷本著作,题为《论球和圆柱》。在这部著作中,阿基米德以其近乎超人的智慧,确定了球体及有关几何体的体积和表面积,从而像在《圆的测定》中对二维图形的研究一样,解决了三维立体的问题。这是一项伟大的成就,阿基米德自己似乎也认为,这标志着他数学事业的顶峰。

我们首先应回顾一下古希腊人对三维立体表面积和体积的认识。如前一章所述,欧几里得证明了两个球体体积之比等于其直径的立方比;换言之,这里有一个“体积常数”m,因而,

`体积(球体)=mD^3`

这是欧几里得对球体体积的认识,但对于球体的表面积,他却始终保持沉默。因而,对这个问题的成功解决,再次有赖于阿基米德《论球和圆柱》的出现。

这一部两卷本著作运用了一种大家熟悉的论述方式,首先是一系列定义和假设,然后从中推导出复杂的定理。总之,还是欧几里得的模式。书中的第一个命题平平淡淡:“已知一个圆外切正多边形,则其周长大于圆的周长。”但是,阿基米德很快就转向了更复杂的问题。通观他的全部论述,(至少用现代人的眼光来看),一个很大的缺憾是,由于缺乏简明的代数符号,他无法用简单的公式来表示体积和表面积,而只能依靠陈述,例如:

命题13 任一正圆柱除上下底面以外的表面积等于一圆的面积,该圆的半径是圆柱的高与底面直径的比例中项。 

乍一看,这一命题似乎非常深奥而陌生。但实际上,我们所感到陌生的,只是其语言,而不是其内容。由于没有代数,阿基米德只好用这种方式来表示他所求证的面积(本例为正圆柱体的侧面积)等于一个已知图形的面积(本例为一个圆)(图4.7)。但是,是一个什么样的圆呢?显然,阿基米德必须要指定他的等面积圆,这就是命题中所说的以比例中项为半径的圆。

用现代术语表示,阿基米德的命题就是

侧面积(半径为r,高为h的圆柱)

=面积(半径为x的圆)

成长吧啊

阿基米德通过一系列测探性的命题,接近了他第一个主要目标——球体的表面积。由于篇幅所限,我们不能详细介绍他对这个问题的推理过程,但我们承认他推理的巧妙。前面我们已介绍过阿基米德数学的特点,读者对他再次应用穷竭法就不会感到奇怪了。他利用以前曾证明了其表面积的圆锥体和圆锥台,从内外双向逼近,“穷竭”了球体。待尘埃落定后,他已证明下面这一非凡的

命题33 任一球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍。

阿基米德运用他最喜欢的逻辑方法——双重归谬法完成了对这个命题的证明,即,他先证明球体表面积不可能大于、然后又证明了也不可能小于其最大圆之面积的四倍。如果我们注意到球体“最大圆”的面积(即通过球体“赤道”的圆之面积)正等于`πr^2`,那么,我们就可以把阿基米德对本命题的陈述(“球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍”)转化成现代公式

`表面积(球体)=4πr^2`

这是一个非常复杂的数学命题。阿基米德对其概念的熟练驾驭和他所表现出的深刻洞察力,似乎成为现代积分学思想的先声。显然这就是阿基米德被公认为古代最伟大数学家的原因所在。

关于这一命题,还有另外一个事实值得一提,那就是它的奇特性。因为没有任何直觉能让我们感到球体的表面积恰好等于其最大横截面面积的4倍。为什么就不能等于4.01倍呢?究竟是什么使这不可思议的数字“4”能够保证球体的曲面表面积恰好等于穿过球心的大圆面积的四倍呢?

阿基米德在《论球和圆柱》一书的导言中讲到了球体这一奇异而固有的特性。导言是写给叫做“多西修斯”的某人,此人可能是亚历山大的一位数学家,而阿基米德曾将论文寄给他。他写道:“……我想到了某些迄今为止尚未被证实的定理,我已经作出了这些定理的证明。”其中,他首先提到“……任一球体的表面积等于其最大圆之面积的四倍”,然后,他又继续写道,这一性质

“……始终是所述图形固有的,那些在我之前从事几何研究的人们只是尚未得知而已。但是,现在我发现了这些性质为真……,我毫不犹豫地将它们与我以前的研究和欧多克索斯关于立体的定理并列在一起,后者因此得到了无可辩驳的证明……”

这一段话提供了一个有趣的史料,我们得以看到,阿基米德是如何评价自己的工作及其在数学发展中的地位的。他毫不犹豫地将自己与伟大的欧多克索斯并列,因为他完全懂得他的发现的非凡性质和分量。但是,他还特别强调,他没有发明或创造`S=4πr^2`。他只是幸运地发现了球体固有的性质,这一性质始终存在,只是以前没有被几何学家所发现。阿基米德认为,数学关系的客观存在与人类能否解释它们无关。他自己只是能够瞥见这些永恒真理的幸运者。

即使《论球和圆柱》除了前面的定理外,再没有其它内容,它也将永远是一部数学经典。然而,阿基米德随即将目光转向了球的体积问题。他再次应用双重归谬法,成功地证明了

命题34 任一球体的体积等于底面积为球体最大圆面积,高为球体半径的圆锥体体积的四倍。

请注意,阿基米德依然没有将球体体积表述为简单的代数公式,而是借助了一个更简单的立体(本例为圆锥体)体积(图4.8)。我们只要略加努力,就可以把他的文字陈述转变为现代等价公式。

设r为球体半径。那么,“底面积为球体最大圆面积,高为球体半径的圆锥体”就等于

成长吧啊

但是,阿基米德的命题34证明,球体的体积等于这种圆锥体体积的四倍,由此得出著名公式

成长吧啊

这个公式的优点之一是阐明了π与欧几里得命题Ⅻ.18提出的“体积常数”m之间的联系。参照我们以上的讨论,我们可以直接得出

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的谜就都得到了解决。不再需要三个不同的常数来强调这三个不同的问题;所有这三个常数都建立在π的基础之上。阿基米德已展示了它们之间惊人的统一。

阿基米德在完成了对命题33与34的证明之后,立即以一种引人注目的方式重述了这两个命题。他假设一个圆柱体外切一个球体,如图4.9所示。然后,他宣称,圆柱体的表面积和体积都等于球体的一倍半!在某种意义上,这是他全部工作的高潮。他用一种简单的方式描述了两个伟大定理,用相应比较简单的圆柱体的表面积和体积来表示复杂的球体表面积和体积。本节将以对阿基米德这一惊人判断的证明作为结束。

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首先,我们看一个圆柱体外切半径为r的球体,其自身半径也等于r,并且,高h=2r。圆柱体的全部表面积等于侧面积(见命题13)与顶面积及底面积之和。因此,

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这一公式准确地表达了阿基米德所说圆柱体的表面积等于球体表面积“一倍半”的意思。

那么,其相应体积如何呢?我们知道,一般圆柱体的体积公式是V=πr2h,在本例,则`V=πr^2(2r)=2πr^3`。因此,

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所以,圆柱体的体积等于球体体积的一倍半。

这样,阿基米德以一种简明而非凡的陈述表明了球体与圆柱体之间的联系。正是这种联系使他将这部论著题为《论球和圆柱》。阿基米德对他的这一发现深感自豪,这一点可以从普卢塔克所提到的阿基米德的墓志铭中看出:

“他的发现数量众多,令人钦佩;但据说他在弥留之际,曾请求他的朋友和亲属在他的墓上置放一个内盛球体的圆柱体,并且要使球体按照二者之间的比例(即,3∶2)内接于圆柱体。”

有趣的是,西塞罗到叙拉古城时确曾拜谒过阿基米德的墓,并在其《图斯库卢姆谈话录》一书中作了记载。阿基米德的墓地上长满了“杂乱的荆棘与灌木”,遮盖了一切。但西塞罗知道他要找的是什么,所以,不难理解,当他发现“灌木丛中显露出来一个小圆柱顶上安放着内盛球体的圆柱体”时,心情该有多么激动。西塞罗发现了阿基米德墓地遗址后,曾想按照原貌尽力修复。如果这个故事真实,那么,西塞罗就发现了这位古希腊最伟大数学家的最后长眠地。他想修复这一被人忘却了的墓地遗址,不仅是为了向阿基米德罗表示敬意,也许还为了补赎他的残暴的马祖先的罪愆。

人们常常听说有人走在时代的前面。这一般是说,一个人超于世上其他人十年,或者,整整一代。但是,阿基米德对数学的贡献,其辉煌却是千百年无人能出其右!直到17世纪发展了微积分,人们对立体体积和表面积的理解才超出了阿基米德的基本原则。可以肯定地说,无论数学学科将来会有怎样的荣耀都永远不会再有人先于时代两千年了。

最后,我们不如引用伏尔泰对这位伟大数学家的成就所作的恰如其分的高度评价:“阿基米德比荷马更富有想象力。”

后记

阿基米德《圆的测定》一书所留下的遗产之一是求我们称之为π的重要常数的更精确近似值。这一比率的重要性早在阿基米德之前很久便已为人所知,虽然阿基米德是科学地研究这一常数的第一人。在阿基米德之前,人们对π值的估算可以从《圣经》关于圆“海”(即一个盛水的大容器)的一段有趣的引文中推断出来:“……他又铸一个铜海……径十肘、围三十肘”(《列王记》,上,7∶23)。

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当时尚属远古时代,所以,这一近似值还是非常合理的。(当然,那些认为《圣经》在一切方面都十分精确的人,会在此吹毛求疵,因为3.00大大低估了π值。)

古代对π值的更精确计算是古埃及人作出的。据赖因德古本记载,他

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学”近似值代表了对π值估算的第一阶段。如我们所知。阿基米德开创了第二阶段。他所应用的圆内接或外切正多边形周长的几何方法一直为17世纪中叶前的数学家所采用(这是阿基米德走在时代前面的又一个证明)。

约公元150年,亚历山大著名的天文学家和数学家克劳迪厄斯·托勒密在其《天文学大成》这部巨著中提出了π值的一个近似值。这部巨著集天文学信息之大全,从太阳、月球及行星的运动,到恒星的性质,无所不包。显然,对天体的精确观测需要复杂的数学基础,为此,早在《天文学大成》中,托勒密就作出了弦值表。

他首先作一个圆,将其直径分为120等份。如果每一等份的长度为p,则我们可以确定其直径为120p,如图4.10所示。对于任何圆心角a来说,托勒密希望能发现与这一角所对的弦AB的长度。例如,一个6O°角所对的弦恰好等于半径的长度,即60p。

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但是,与我们的讨论有关的问题是,他发现了1°弦的值(用现代十进制记数法)为1.0472p。因此,内接于这个圆的正360边形的周长就等于1°弦长的360倍,即376.992p。虽然利用正多边形的思想显然是阿基米德的思想,但托勒密的360边形却比其前辈的96边形推算出的π近似值精确得多。即,

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当欧洲人终于从中古时代的数学停滞中再度崛起的时候,发现精确π值的速度大大加快了。16世纪末,随着西蒙·斯蒂文(1548—1620年)等数学家的艰苦探索,现代十进制问世了,人们可以更方便、更准确地计算平方根。因而,当法国天才数学家弗朗索瓦·韦达(1540—1603年)试图利用阿基米德的方法计算π近似值时,他可以用正393,216边形推算出精确到9位小数的π值。他先按照阿基米德的方法作出正96边形,然后将正多边形的边数翻倍十几次,得到正393,216边形。即使阿基米德,在韦达的数系面前,也会惊讶,而十进制记数法则为韦达提供了用武之地。他所采用的基本方法仍然是阿基米德的方法,但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具。

17世纪初叶,一位德国数学家超越了所有前人,发现了精确到35位小数的π值。他的名字叫卢道尔夫·冯瑟伦,他用了几年时间钻研这个问题。像韦达一样,卢道尔夫也将新的十进制与旧的阿基米德方法结合起来,但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的,卢道尔夫是从正方形开始的。到他完成的时候,他已推导出了有`2^{62}`条边的正多边形——或约4,610,000,000,000,000,000边形!不用说,这个多边形的周长与其外接圆的周长相差无几。

计算π近似值的古典方法已引导数学家们走得很远。然而,17世纪末叶发生了一次计算这一不寻常比值的数学大爆炸,其中一个进步就是最终取代了阿基米德的方法,并将对π值的探索推向了第三阶段。17世纪60年代末,年轻的艾萨克·牛顿应用其广义二项式定理和新发明的流数法(即微积分),比较轻松地计算出了非常精确的π近似值;这就是我们将在第七章中介绍的伟大定理。1674年,牛顿的对手戈特弗里德·威廉·莱布尼兹发现级数

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随着我们计算的项数不断增加,接近于数字π/4。至少从理论上说,我们可以无限扩展这一级数的项,以得到更加精确的π/4,并且由此得到π本身的近似值。重要的问题是,我们必须求和的这个级数,按其方式,是完全可以预知的;也就是说,无论我们将这一级数扩展多长,都不难确定下一项。这样,求π近似值的问题就从以阿基米德正多边形为代表的几何问题突然变成了加减数字的简单算术问题。这是一个视角的重大的变化。

实际上,在这一点上,情节渐趋复杂,因为莱布尼兹的级数虽然确能接近π/4,但计算起来也实在太慢了。例如,即使我们用这一级数的前150项计算,我们所得到的π近似值也仅为3.1349……,想到工作量之大,则这一计算的准确性实在令人失望。据估计,如果我们要利用这一级数得到精确到100位小数的π近似值,我们就需要计算

100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000

多项!因此,虽然莱布尼兹的级数预示了一种计算π近似值的新的算术方法,但它显然没有实用价值。

但是,无穷级数的计算很快有了前途。数学家亚伯拉罕·夏普(1651—1742年)和约翰·梅钦(1680—1751年)等对无穷级数做了巧妙的修改,并产生了计算速度快得多的收敛级数。利用这些修改,夏普于1699年发现了精确到71位小数的π近似值,而7年后,梅钦则计算出100位小数的π值。并且,他们的方法远比可怜的卢道尔夫用大半生时间才抠出35位小数的方法简便得多。显然,级数方法宣告了古典方法的过时。

同时,数学家还试图理解这一特殊常数的其他特点,在这一方面也有了进展。其中主要是约翰·海因里希·朗伯(1728—1777年)于1767年证明π是无理数。我们回想一下,所谓无理数,就是那些不能写成两个整数商的实数——即,无理数是不能写成分数的数。我们可以很容易地指

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如果π是有理数,那么,它也应该能够表现出这两种形式中的一种——或者终止,或者循环,因而,确定其小数展开式的努力,经过一定时间后,势将最终完成。朗伯证明π是无理数,就决定了其小数计算是无穷无尽的。

似乎这种无理性还不够糟,1882年,费迪南德·林德曼又证明出π实际上是超越数,如我们在第一章中所述。对超越数的发现不仅解决了化圆为方的问题,而且,也说明了π不能形成涉及有理数平方根、立方根等等的任何一种初等表达式。朗伯和林德曼的研究表明,π不是那种易于进行数学分析的“佳”数。然而,公元前225年的阿基米德明白无误地指出π是所有数中最重要的数之一。

π的历史引入了本世纪一位杰出的数学家斯里尼瓦萨·拉马努扬(1887—1920年)。拉马努扬出生在印度,家境贫寒,未受过任何正规数学教育。他主要是根据几本教科书自学成才的。拉马努扬对数学的热中,严重影响了他的其他学业,由于他未能通过其他课程的考试,不得不中止了他的正规教育。1912年,他在马德拉斯做文书工作,靠30英镑年薪勉强维持他夫妻二人的生活。作为失败者,他是很容易被社会所淘汰的。

尽管存在着这种种障碍,但这位孤立的天才却在从事着极富独创力,极有深度的数学研究。在别人的怂恿下,他把自己的发现

写成了一封长信,分别寄给了英国三个最著名的数学家。其中两人把信退回了拉马努扬。显然,他们认为有比给一个不知名的印度小职员回信更紧迫的事情要做。

第三位数学家是剑桥大学的G.H.哈代,在他于1913年1月16日打开早晨的邮件时,本来或许也会这样做。拉马努扬用蹩脚英文写的信中有100多个奇怪的公式,但没有任何证明,仿佛一个妄想狂随心所欲地在漫游世界。哈代随手把信丢在一旁。

但是,据说,这些数学公式一整天萦绕在他的脑海中。这些公式,有许多都是哈代这位世界上最优秀的数学家从来没见过的。逐渐地,他醒悟了,认识到这些公式“……一定是真实的,因为如果它们不真实,就不会有人能有这种想象力,发明出它们来。”哈代回到自己的房间,重新审看早上的信件,他意识到,这是一个大数学天才的杰作。

这样,就开始办理拉马努扬到英国来的手续。对于一个从小受到严格宗教熏陶的人来说,这是一件很复杂的事情,因为他在旅行、饮食等方面都有许多限制。但这些困难最后都被克服了,1914年,拉马努扬终于来到了剑桥大学。

拉马努扬与哈代从此开始了长达五年之久的非凡合作——后者是受过世界上最好数学教育的温文尔雅的英国人;而前者却是一位“未经雕琢的天才”,虽具有令人难以置信的能力,但数学知识却有很大局限性。有时,哈代只好像对待一个普通大学生一样指导这位年轻伙伴。而拉马努扬也常常提出一些从未见过的数学定理令他惊奇。

在拉马努扬的公式中,有许多都能够迅速而精确地计算出π的近似值。这些公式,有的编入了1914年他的一篇重要论文;也有一些则潦草地涂写在他的私人笔记本里(急切的数学界直到现在才有幸目睹这些文献)。即使其中最简单的公式也使我们受益匪浅。其实,只要说一句话就够了,他的见解开通了更有效地计算π近似值的思路。

然而,不幸的是,拉马努扬的事业,开始得如此奇特,结束得又如此仓促。第一次世界大战期间,拉马努扬在远离家乡的剑桥大学累垮了身体。有些人认为原因在于疾病,而另一些人认为,原因在于严格的饮食限制造成了严重的维生素缺乏症。为了恢复健康,他于1919年返回了印度,然而,他家乡的温馨却无法阻止他病情的恶化。1920年4月26日,拉马努扬与世长辞了,年仅32岁。从此,世界失去了一位数学奇才。

现在,让我们来引述英国人威廉·谢克斯(1812—1882年)的惊人计算,至此,我们的故事迅速进入现代结局。谢克斯于1873年计算出707位小数的π值。他利用梅钦的一系列方法,达到了如此惊人的精确度,成为此后74年的标准。但是,1946年,他的同胞D.F.弗格森却令人吃惊地发现谢克斯在其非凡计算的第527位小数之后出现了错误。弗格森善意纠正了这些错误,并得到了710位小数的π值。对于那些少有计算兴趣的人来说,简直难以想象能够对一个带有707位小数的数字进行验算,而且,更令人难以置信的是,在验证了100位、200位,甚至500位小数都没有发现错误的时候,竟然还能坚持验算下去!弗格森的惊人毅力终于有了回报。

1947年初,美国J.W.伦奇将自己的成就加入到这一历史之中,公布了808位小数的π值。这似乎是一个辉煌的新胜利——但后来,不屈不挠的弗格森又开始检验这一数值。并且,他果真发现伦奇计算的第723位小数有错误。然后,弗格森与伦奇两人通力合作,终于于一年后公布了精确到808位小数的π值。

自此,故事进入了第四阶段,也是最后一个阶段。我们已看到,人们最初是如何“数着指头”估算π值的;后来,阿基米德引入了圆内接和外切多边形的方法,这种方法一直盛行到微积分的出现,并被无穷级数的算术技术所取代。最后,1949年,计算机的出现引起了计算方面的根本革命。同一年,美国陆军的电子数字积分计算机计算出精确到2037位小数的π值。应当指出,用现代眼光来看,这台计算机是一部非常原始的机器,密密麻麻的电线和电子管占满了好几间房屋,其运算速度之慢,简直让人难以忍耐。但即使是这样一台古怪的老式计算机,也超越了前人的所有计算,其中一个重大的飞跃是将人类两千两百年计算的π近似值的小数位扩大了一倍半,而且,即便是D.F.弗格森也找不出一个错误。随着计算机技术的发展,π值的小数位数以令人难以置信的速度飞快增加。1959年,计算出16,000多位小数;1966年,就发展到25万位小数,而到80年代末,巨型电子计算机已将π值的小数位数猛增到5亿位上下。

然而,我们人类脆弱的自我无须感到大受伤害。虽然计算机的计算速度超出任何人的想象,但毕竟还需要由数学家去编制程序,指导计算机正确运算。π的故事讲述了人类的胜利,而不是机器的胜利。即使在20世纪末叶,我们也绝不能忘记,这一数学历程最初是由最优秀的数学家、叙拉古城的阿基米德的一篇题为《圆的测定》的短文引发的。