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第五章 赫伦的三角形面积公式

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第五章 赫伦的三角形面积公式(约公元75年)

阿基米德之后的古典数学

阿基米德在数学景观上投下了长长的影子。其后的古代数学家虽然都有自己的建树,但却没有一个人能够比得上叙拉古城这位伟大的数学家,随着希腊文明的衰落和罗马的同时兴起,事情益发明显。阿基米德死于罗马人之手,预示了以后所发生的事情,这种看法也许有点儿简单化,但并非没有道理。希腊人专注于自己的理念世界,在罗马强大的军事力量面前,确实不堪一击,而罗马人则忙于建立政治秩序和征服世界,完全无视希腊人热中的抽象思维。如同对阿基米德一样,罗马新秩序同样也不能容许希腊传统的存在。

一些资料也许有助于我们的认识。我们已看到,叙拉古城于公元前212年陷落于罗马的马塞卢斯之手。三次残酷的布匿战争最终以公元前146年罗马消灭迦太基而告终,罗马人从此确立了对中地中海两岸的控制。同一年,希腊的最后一座重要城邦科林斯向罗马军投降。一百年后,尤利乌斯·凯撒征服了高卢;公元前30年,在安东尼与克娄巴特拉的统治失败后,埃及落入屋大维之手。甚至野蛮的不列颠也于公元30年臣服于罗马。自此,罗马正式成为帝国,对西方世界行使着史无前例的统治。

随着罗马的征服,他们复杂的工程项目也随之发展起来:桥梁、道路和沟渠遍布欧洲大陆。然而,曾强烈吸引希波克拉底、欧几里得和阿基米德的纯粹数学却未能像以前那样兴盛。

但是,依然保持辉煌的是亚历山大图书馆。这座环境优美的图书馆吸引了地中海地区最优秀的学者,是一个最令人兴奋的地方。阿基米德的一位同时代人,著名数学家厄拉多塞(公元前约284—192年)就曾大半生在这里担任馆长。厄拉多塞身居学术要职,是一位阅读广泛、著作等身的学者,许多关于纯数学、哲学、地理学,特别是天文学的著作都出自他的手,这最后一项,不仅包括许多学术论文,而且还包括一部题为《赫耳墨斯》的长诗,将天文学的基本知识写成了诗歌!像众多的古代著作家一样,厄拉多塞的著作大部分散失了,我们只能依靠后来注释者的描述来了解他。但他身为当时的学界名流,似乎是没有疑问的。阿基米德至少有一篇著作是题献给厄拉多塞的,并视其为一个伟大的天才。

厄拉多塞的一大贡献是他著名的“筛法”,这是一种寻找素数的简便方法。为了用厄拉多塞筛法选出素数,我们首先写下从2开始的连续正整数。请注意,2是第一个素数,然后我们依次划掉后面所有2的倍数,即4、6、8、10等。越过2,下一个没有划掉的整数是3,这一定是第二个素数。我们现在再划掉所有3的倍数——6

(虽然它已经被划掉了)、9、12、15等。下面我们来看,4已经被划掉了,于是,下一个素数是5;我们再划掉表中所有5的倍数——10、15、20、25等。如此循序渐进。显然,我们划掉的数字都是较小整数的倍数,它们都不是素数,因而,都被筛掉了。而另一方面,素数却永远不会被筛掉,它们将成为我们表中唯一剩下的数字:

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用厄拉多塞筛法,可以自然而然地产生100以下的所有素数。但要找出,比如说,100万亿以下的所有素数,用这种方法显然就非常困难了,但现代计算机运用这一古老方法,却有极大收获。

厄拉多塞最著名的科学成就也许是他对地球周长的测定。虽然有许多文字描述了他的这一计算,但由于找不到他的原始论文《论地球的测量》,我们还不能肯定厄拉多塞究竟用的是什么方法。但是,据说,他运用了一些地理数据和一个非常简单的几何图形,具体如下:

在埃及亚历山大以南,今天的阿斯旺附近,有一座城市叫赛伊尼。在夏季第一天的中午,赛伊尼处的太阳直射地面。如果此刻有人往井里看,就会感到水面反射的太阳非常刺眼,从而证实了太阳的直射。但在同一天的同一时刻,亚历山大处的竹竿却投下一个短影。厄拉多塞注意到,从竹

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图5.1)。假设亚历山大位于赛伊尼的正北(这大体正确),而且,因太阳距离地球十分遥远,假设阳光射到地球是平行的(又一个合理的假设),厄拉多塞根据《原本》的命题Ⅰ.29,判定内错角∠AOS等于∠a,而O则代表球状地球的球心,如图5.1所示。最后的已知条件是测得这两座城市之间的距离为5000斯达地。因此,我们得到比例

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斯达地。至此,读者肯定会问:“一斯达地是多长?”厄拉多塞所用单位究竟多长已无从考订,只能冒险地引用估计值,即一斯达地约等于516.73英尺。利用这一数字,可以得出厄拉多塞计算的地球周长为129,182,500英尺,或约24,466英里。目前公认的地球周长为24,860英里,所以,厄拉多塞的计算结果非常接近此值。实际上,由于这个数字太精确了,以致一些学者怀疑其真实性,或者至少同意托马斯·希思爵士的观点:厄拉多塞给了我们“一个令人惊奇的近似值,不论其在多大程度上归因于计算中的偶然。”

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暂且抛开这些怀疑不谈,厄拉多塞的推理方法还是值得我们注意的,这不仅是因为其巧妙,而且还因为,无论如何,他坚信我们的地球是一个球体。而1500年后的欧洲水手却还惧怕从扁平大地的边沿掉下去。我们有时忘记了古希腊人已完全意识到地球的球体形状,如果后来的水手还睁大双眼,搜寻地平线的边缘,这与其说是学问太少,不如说是记性不佳。

另外,还有两位阿基米德之后的数学家值得介绍。其中一位是阿波罗尼奥斯(公元前约262—190年),他也是阿基米德同时代人,也曾到过亚历山大,在那充满学术气氛的环境里学习、工作。他在那里完成了他的代表作《圆锥曲线》,这是一部广泛讨论所谓圆锥曲线的巨著,涉及椭圆、抛物线和双曲线(图5.2)。虽然古希腊数学家曾深入研究过这些曲线,但阿波罗尼奥斯重新整理了前人的工作,使之系统化、条理化。这种情形,很像欧几里得编著《原本》的情况。《圆锥曲线》共有八篇,前四篇系统叙述了圆锥曲线的基本原理,后三篇讨论了更专业化的问题,第八篇现已失传。

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即使在古代,阿波罗尼奥斯的著作也被公认为是圆锥曲线问题的权威论述,而且,在文艺复兴期间被重新发现后,亦得到了很高的评价。当约翰·开普勒(1571—1630年)提出他关于行星以椭圆形轨道围绕太阳运动的独创性理论时,圆锥曲线的重要性得到了证实。椭圆绝不仅是古希腊数学家手中把玩的珍品,它已成为地球,乃至地球上我们全体人类运行的轨道。大约一百年后,因发现彗星而声名大噪的英国科学家埃德蒙·哈雷用了几年时间来编定《圆锥曲线》的最后定本,并对这一古典数学著作推崇备至。今天,这部巨著与欧几里得的《原本》和阿基米德的著作并列,成为古希腊数学的里程碑。

最后一位古代数学家与本章的伟大定理有关,他就是亚历山大(还能是哪里呢?)的赫伦。一些现代书把他的名字写成“希罗”(Hero,即英雄之意——译注),这主要是因翻译造成的,而不是他自命不凡。遗憾的是,我们对他的生平知之甚少,甚至对他的生卒年月也颇多争议。不过可以肯定地说,赫伦是在阿波罗尼奥斯之后,但更确切的日期就有待于一位天才像侦探小说里经常描写的那样去推断了。我们采用了霍华德·伊夫斯的观点,确定赫伦的活动时期为公元75年前后。

尽管我们对赫伦的生平知之甚少,甚至不知是否相差了150年,但学者们却拥有大量关于赫伦数学的资料。赫伦的兴趣主要是在实践方面,而不是理论,他的许多著作都涉及了非常有用的实用科学,如机械学、工程学和测量学。他的这种侧重反映了希腊人与罗马人兴趣的截然不同。例如,赫伦在其《经纬仪》一书中介绍了挖掘穿山隧道及计算泉水流量的方法。在另一部著作中,他回答了一些日常生活问题,例如“为什么用膝盖在一根木棍的中间用力顶,木棍会折断?”或者“为什么人们用钳子而不用手拔牙?”

然而,有趣的是他关于三角形面积的命题。这一命题像赫伦的其他许多课题一样,明显地带有实用性,但他对这一命题的证明却是一篇出色的几何抽象推理。这条命题是赫伦《量度》一书中的命题Ⅰ.8,这一重要著作的发现还有一段有趣的历史。数学家们早就知道有这样一篇论文存在,因为评注家欧托休斯早在公元6世纪时就曾提到过这部著作,但人们却找不到它的下落。它就像恐龙一般神秘地消失了。1894年,数学史家保罗·坦纳利在一个13世纪巴黎人的手稿中偶然发现了这篇论文的片段。更幸运的是,两年后,R.舍内在君士坦丁堡发现了这部著作的全部手稿。这样,现代人才有幸目睹《量度》一书的全貌。

伟大的定理:赫伦的三角形面积公式

我们已知,赫伦的公式涉及三角形面积。这个公式似乎完全不必要,

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(高),而且已得到了广泛的应用。但是,如果用这个公式去求图5.3中三角形的面积就没有什么意义了,因为我们还不知三角形的高。

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首先,应当指出,已知一个三角形的三条边,则其面积一定是确定的。这可以直接从“边边边”全等定理(欧几里得,命题1.8)中推导出来,因为我们知道,任何边长等于(比如)17、25和26的其他三角形,一定与图5.3中的三角形全等,因此,其面积也完全相等。所以,如果我们知道三角形的三条边,我们也就知道一定有一个,并且只有一个面积值。

但是,如何确定这一面积值呢?今天仍像两千年前一样,最简便的方法是应用赫伦的公式,其公式用现代符号表示,就是:

如果K是边长等于a、b、c的三角形的面积,那么,

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请注意,在应用赫伦的公式时,我们只要知道三角形的三条边就足够了;我们无须求出三角形的高。

这是一个非常特殊的公式,乍看之下,人们会感到是不是印刷有误。公式中出现的平方根和半周长似乎非常奇怪,这个公式完全没有直观感染力。然而,作为一项伟大的定理,引起我们注意的不仅有它的奇特,还有赫伦为此所作的证明。他的证明既非常曲折,令人惊叹,又非常巧妙。在某种意义上说,他的证明是很初等的,因为他只用了一些简单的平面几何概念——也就是说,只用了一些“元素”。但是,赫伦展示了他精湛的几何技巧,将这些元素组合成一个非常丰富而漂亮的证明,堪称数学中一个令人叹为观止的结论。赫伦的证明就像阿加莎·克里斯蒂的侦探小说一样,读者一直读到最后几行可能还弄不清问题如何解决。但我们不必着急,他最后的几步推理,将这一证明推向了高潮。

在介绍这一证明之前,我们有必要先介绍一些赫伦论证所依据的初步命题。前两个初步命题出自欧几里得的《原本》。 

命题1 三角形的角平分线交于一点,这个交点是三角形外接圆的圆心。 

这一命题出自欧几里得《原本》的命题Ⅳ.4。三角形三条角平分线的交点(即三角形外接圆的圆心)恰当地叫做内心。 

命题2 一个直角三角形,如果从直角作斜边的垂线,则垂线两边的三角形分别与整个三角形相似,并互相相似。 

读者将会发现,这一命题出自《原本》的命题Ⅳ.8,我们在第三章中曾讨论过这一命题。

下面的定理虽然也非常著名,但没有编入欧几里得的《原本》。为了保持完整,我们同时附加了定理的简单证明。

命题3 在直角三角形中,斜边的中点与三个角的顶点距离相等。

证明 首先设直角三角形BAC(图5.4),平分AB边于D,作DM垂

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命题4 已知AHBO是一个四边形,作对角线AB和OH,如果∠HAB与∠HOB是直角(如图5.5所示),则可以过四个顶点A、O、B、和H作一个圆。

证明 这是从前一个命题中直接推导出来的一个特殊命题。如果我们平分BH于M,我们注意到,M是直角三角形BAH与直角三角形BOH的共同斜边上的中点。所以,M与A、O、B和H各点的距离相等,因而,以M

命题5 联圆四边形的对角和等于两个直角。 

这个命题出自《原本》的命题Ⅲ.22,其证明见第三章。

这五个命题不妨看作一个特殊的工具箱,带给我们一个关于一般三角形面积的证明。但是,它们连同高度的技巧,只是赫伦在证明现在以他的名字命名的公式时所需要的“元素”。

定理 已知一个三角形,其边分别为a、b和c,面积为K,我们得

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证明 设任意三角形ABC,使AB边至少不小于其他两条边。为了使赫伦的论证清晰易懂,我们将他的证明分成三大部分。

第一部分 赫伦的第一步就令人非常震惊,因为他首先作了一个三角形的内接圆。他用三角形内心作为确定其面积的关键因素,大大出人预料,因为的性质与三角形这种直线图形的面积没有直观联系。尽管如此,我

我们看到,赫伦在三角形的面积K与其半周长s之间建立了联系。这说明我们的方向走对了,但后面还有许多事情要做。

第二部分 我们继续参照图5.6,并回想一下第一个初步命题,即利用三角形三个角的平分线作内接圆。因此,△ABC可以分解为三对全等三角形,即

△AOD≌△AOF,△BOD≌△BOE,和△COE≌△COF,

这三对全等三角形,每一对都是根据“角角边”全等定理确定的(欧几里得,命题I.26)。然后,将各部分相对应,我们得到

而∠AOD=∠AOF,∠BOD=∠BOE,和∠COE=∠COF

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总之,半周长s与s-a、s-b和s-c三个量都等于图中的线段。这也是富有启发性的结论,因为这些量都是我们所求证公式的组成部分。赫伦剩下的工作就是要把这些“零件”组合成一个完整的证明。

第三部分 我们仍然设△ABC及其内接圆,但我们现在需要一个延伸图,以说明赫伦的推理过程(图5.7)。他先作OL垂直于OB,并交AB于K,然后作AM垂直于AB,交OL于H,最后,连接BH。

由此形成的四边形AHBO,我们应该很熟悉。根据命题4,它实际上是一个联圆四边形;并且,根据命题5,我们知道,四边形的对角和等于两个直角。即,

∠AHB+∠AOB=两个直角

现在,我们来看围绕内心O的各角。根据第二部分的全等,这些角可以分解为三对相等角,所以,

2α+2β+2γ=四个直角 或等于

α+β+γ=两个直角

但是, β+γ=∠AOB,因此,α+∠AOB=两个直角=∠AHB+∠AOB。所以,α=∠AHB,这一点似乎是细枝末节,但在以下的推论中,将十分重要。

因为∠CFO与∠BAH都是直角,而且,根据上述推理α=∠AHB,所以,赫伦推断△COF与△BHA相似。据此,我们可以推出比例

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至此,读者难免会对这位数学家在这些无休无止的相似三角形中漫无目的地遨游感到不解。这种感觉到下一步时依然不会消失,因为赫伦在下一步又证明出了另外一对相似三角形。

最后,赫伦将这大量“零件”组合,迅速而巧妙地达成他所求证的结论。我们只需注意到,这最后一个等式的组成部分恰恰是第二部分所推导出的线段。将第二部分的结果代入,便得到

`r^2s^2=(s-c)(s)(s-a)(s-b)=s(s-a)(s-b)(s-c)`

成长吧啊

让我们再回忆一下第一部分的结论,如果K代表我们三角形的面积,则rs=K。因此,最后代入上列等式,就得到了赫伦的公式:

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这样,我们就完成了初等几何中一个最巧妙的证明。在证明过程中,他看似随意地漫游,实际上始终朝着预定目标前进。这无疑是我们迄今为止所见到的最曲折的证明。很难想象,脑力的回旋竟然引导赫伦得出了这样一个迂回曲折、令人惊叹的证明。

后记

关于这一著名公式,历史学家发现了一个离奇的事实。在一部写于赫伦身后几百年的古阿拉伯手稿中,伊斯兰学者阿布·赖汉·穆罕默德·比鲁尼认为,这一公式的发明不应归功于赫伦,而应归功于杰出的阿基米德。我们虽然没有阿基米德的论文来支持这种观点,但凭他的智力,本来完全可以推导出这样一个定理。

另一方面,抛开历史的本来面目不谈,出于情感原因,我们不妨让赫伦享有这一殊荣。如果将这个定理归功于阿基米德,而不是赫伦,似乎对前者过于慷慨,对后者又过于残酷,因为阿基米德的名声在古代数学家中已经无与伦比;而赫伦的名声在很大程度上却依赖于这个定理。

众所周知,赫伦的公式有其各种实用价值。测量员只要知道一块三边形地三条边的长度,就很容易计算出这块地的面积。对于四边形或更多边形的地,也不难分解成三角形的组合,进而求出面积。并且,利用赫伦的公式,还能够推导出一个我们早已熟悉的定理,下面我们来看。

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假设有一个直角三角形,其斜边长度为a,两个直角边分别为b和c,如图5.8所示。因而,其半周长为

成长吧啊

欧几里得、阿基米德、厄拉多塞、阿波罗尼奥斯、赫伦以及其他许多数学家都与亚历山大学派有关,这一古代的科学中心历久不衰。但是,即使罗马帝国也不是永恒的,亚历山大学派同样如此。

亚历山大图书馆从公元前约300年建立时起一直很活跃,直到公元529年被基督徒关闭(他们嫌恶图书馆收藏大量异教书籍)。公元641年,阿拉伯人最终将它付之一炬。虽然人们抢救出许多文献,但古代文明仍在这场劫难中元气大伤。其他古代遗迹,例如奇阿普斯(胡夫)的大金字塔、耶路撒冷的大卫庙和图书馆附近的法罗斯岛灯塔,也有类似的命运。今天的考古学家面对这种知识与美的永久毁灭,只能叹息再三。

数学活动从此结束了以亚历山大为中心的历史。从公元641年起,在以后的许多世纪中,阿拉伯数学家充当了古代数学的保护人,而他们本身,也是数学的创新者。阿拉伯帝国的故事当然应从穆罕默德(公元570—632年)开始,他最初默默无闻,继而成为世界史中的重要人物。穆罕默德死于耶路撒冷之后150年,他所创立的宗教已从印度穿过波斯湾和中东,横跨北非,一直扩展到西班牙南部。随着地理版图的扩大,伊斯兰学者急切地从他们接触到的许多文明中汲取知识。

这些知识之一是印度的数学,并从中产生了所谓“印度-阿拉伯”数系。这一数系远比罗马数系更先进,并取代了后者的地位,罗马数字的应用只在表盘、版权日期和超级橄榄球赛中还保留下来。即使阿拉伯人再没做其他事情,人们也会永志不忘他们传播这一最有用数系的历史功绩。

当然,他们还有其他许多贡献。早在9世纪初叶,阿拉伯人便开始翻译希腊名著,并对这些著作做了有益的评注。他们于公元800年翻译了《原本》,几十年后,又翻译出版了托勒密的名著《天文学大成》。这后一部著作写于约公元150年,是古代天文学的总汇。它很像欧几里得的《原本》,也是由13卷组成,包括论述日月蚀、太阳、行星和恒星的篇章,以及我们在第四章后记中所说到过的“弦值表”。托勒密还详细阐明了他的太阳系模式,这是一个以地球为中心的模式,这一地心学说,在波兰思想家哥白尼出现之前的1400年间,一直符合当时的科学与人类自尊的需要。阿拉伯人高度评价托勒密的著作,称其为“Al magiste”(阿拉伯语,“最伟大”的意思),因而,我们今天称这部巨著为“大成”(Almagest)。

后来,一位伟大的学者塔比特·伊本·戈拉(826—901年)精译了阿基米德和阿波罗尼奥斯的著作,提供了非常忠实于原文的《原本》译本。阿拉伯学术中心位于今天伊拉克的巴格达市,那里建有“智慧宫”,是进行学术活动的重地,其成员中有许多天文学家、数学家和翻译家。数学界的中心以前在柏拉图的学园和亚历山大图书馆,现在转移到巴格达,在那里保持了很长一段时间。

在最重要的阿拉伯数学家中,有一位数学家名叫穆罕默德·伊本·穆萨,胡瓦里兹米(公元约825年),他借鉴东西方的数学成就——包括印度数学家婆罗摩笈多和我们所知的古希腊数学家,写出了一篇非常有影响的论代数和算术的论文。在这篇论文中,胡瓦里兹米不仅阐明了线性方程(一次方程)的解法,还阐明了曲线方程(二次方程)的解法。对于二次方程ax2+bx+c=0来说,其解为

但是,胡瓦里兹米完全是用文字,而不是用现今的简明的代数符号来表达他的公式。然而,即使他没有发明代数符号,但却至少间接赋予了代数以名称。胡瓦里兹米的主要论文题为“Hisb al-jabrw’almuqbalah”。400年后,这篇论文被翻译成拉丁文,题目变为“Ludus algebrae et almucgrabalaeque”,最后,简称为“alge-bra”(代数)。

关于阿拉伯数学家的最大贡献,始终存有争议。一方面,他们在研究诸如欧几里得和阿基米德这些巨人的著作时,始终未能跳出其窠臼。在阿拉伯数学家的著作中,我们看不到那种数学知识的巨大飞跃,而这乃是古希腊数学家历代相沿的特点。特别是,阿拉伯数学家根本不认为“证明”是其数学的核心,在这个意义上,他们的数学酷似近东的希腊前文明。由于阿拉伯数学家不大重视将其成果归纳为一般原则,因而,本书没有阿拉伯数学家的伟大定理。

但另一方面,阿拉伯数学家确曾普及了非常有用的数系,并对解各次方程问题作出了重大贡献。此外,用霍华德·伊夫斯的话说,他们在欧洲沉睡的几百年间,充当了“大量世界智力财富的监管人。”如果没有这种伟大的服务,我们的许多古代文化知识,特别是古代数学知识,就有可能永远湮没无闻。

终于,阿拉伯人完成了他们作为欧几里得和阿基米德知识监管人的使命,这些知识又逐渐返回了欧洲。当然,其中一个主要的动力是从11世纪末到13世纪中叶十字军的一系列远征,在这些远征中,比较落后的西方基督教徒遭遇了比较先进的东方阿拉伯人。欧洲人虽然没能从穆斯林教徒手中夺取圣地,但都大开眼界,认识了敌手的高度学养。

也许,更重要的是基督教徒对西班牙摩尔人和对西西里地区的征服。1085年,西班牙大城市托莱多陷落于基督教徒之手,几年后,西西里也被欧洲人征服。欧洲人在进入这些被占领的土地后,发现了落败的阿拉伯人的书籍和文献。欧洲人进入了一个以往难以想象的知识王国,闲暇时钻研一番,他们不仅领略了伊斯兰敌手的学识,而且也发现了自己祖先的学术成就。影响是巨大的。

这些经典(柏拉图和亚里士多德,当然还有欧几里得的著作)的巨大影响始见于意大利的大学。1088年在博洛尼亚开办了第一所大学,随后又相继在帕多瓦、那不勒斯、米兰和其他地方办起了大学。此后一二百年,意大利的学术氛围从中世纪的深渊跃升至我们今天所称的文艺复兴的高点。

正是在16世纪的意大利,随着阿拉伯人对古代文化的传播和意大利学者的觉醒,产生了我们下一章的伟大定理:米兰的杰罗拉莫·卡尔达诺及其奇异而令人难以置信的三次方程解。