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第五章 一门逻辑学科不合逻辑的发展

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第五章  一门逻辑学科不合逻辑的发展

我们将不会悲伤,

在隐藏着的背后

我们找到的是力量。

                           ——华兹华斯

两千多年来,数学家们一直相信他们已十分成功地揭示了自然的数学设计,然而现在他们却不得不承认数学定律并非真理。在这两千年里数学家们还认为他们一直遵循着古希腊人的方法来得到真理,即将演绎法推理应用于数学公理中,从而确保推论与公理一样可靠。而正由于科学的数学定律相当准确,少数几个对某些数学论点正确性的疑惑虽然确实存在,但也不被理睬。即使最敏锐的数学家也确信推理上的任何瑕疵是很容易去除的。然而,数学家们在推理上的这种安然心态,却在19世纪有了改变。

数学家们睁开双眼,他们看到了什么?他们又是如何认识到他们并没有合理地进行推理的呢?在19世纪上叶,对微积分的合理性的攻击并没有遭到令人满意的反击,这已动摇了一些人。但最主要的是由于在原理上很类似的非欧几何和四元数的发明,迫使数学家们放弃了他们对真理的追求,并使大多数科学家看到了这一逻辑所处的可悲状况。

对非欧几何的研究是不断地参照欧氏几何里类似的定理和证明的,这是十分自然的,同时也产生了令人吃惊的意外发现:两千年来一直为专家们所称誉的严格证明的典范——欧氏几何竟然是建立在一个有着严重缺陷的逻辑基础之上的。以四元数开始的新代数学(见第四章)的产生,困扰着数学家们,并迫使他们不得不重新检查普通实数和复数的算术和代数学的逻辑基础,但他们的目的仅仅只是想重新使他们自己相信,这些数的性质是十分牢靠的。然而,在这一领域的发现却令人吃惊:他们曾一直认为是高度逻辑化的科学实际上完全是不合逻辑地发展着的。

反省过去是洞察力最丰富的源泉。正是这些新发现所提供和磨砺的洞察力,使科学家们最终看到了前人所没有看到的,或者是看到了,却因他们那种想达到真理的冲动欲望而掩饰了的东西。当然,数学家们并不是要放弃他们的科学。数学,除了一直在科学中发挥着巨大的作用以外,它本身即是一种知识体系。自柏拉图以后,许多数学家都把它当作是一种超感觉的实在,因此,他们认为能够做的仅仅是重新检查一下数学的逻辑结构,并且补充或重新构造那些有缺陷的部分。

我们知道,演绎数学起源于古希腊,其第一个似乎十分合理的结构是欧几里得的《原本》。欧几里得是以定义公理和演绎得到的定理开始的,让我们先来看看欧几里得的几个定义:

定义1.点是没有部分的那种东西;

定义2.线(现在的术语称为曲线)是没有宽度的长度;

定义3.直线是同一线上各点平齐的线。

亚里士多德指出:对某一概念的定义必须用已知的概念来描述,因为不可能有无源之水。所以他断言,必然有未定义的概念做为开始。尽管许多迹象表明公元前300年左右生活在亚历山大里亚的欧几里得十分清楚古希腊人以及亚里士多德的学说,但他仍然定义了他所有的概念。

对于这一缺陷有两种可能的解释,一种可能是欧几里得未必赞同必须有未定义概念;另一种可能是像他的一些支持者所说的,他意识到了一定会存在未定义概念。他只是希望,他的原始定义能给出它们所定义的概念的直观意义,由此即可判断他们所遵循的公理是否正确的了。然而,即使是后一种情况,欧几里得也不应该把这些定义放到他的正文中去。但无论欧几里得的目的是什么,实际上从他以后,两千多年来追随他的数学家们都无一例外地忽略了未定义概念的必需性。帕斯卡曾在《几何精神论》(1658年)中要求人们注意这种必需性,但他的提醒并未被人们所理睬。

欧几里得的公理是一种什么样的情况呢?他可能是依据亚里士多德的观点,阐述了五条可普遍应用于推理的公理,和五条仅用于几何学的公设。第一条公理是说,等同于同一事物的事物彼此相等。欧几里得把“事物”这个词解释为长度、面积、体积和整数。当然,“事物”一词未免过于模糊。另一个使人误入歧途的公理是这样的:彼此重合的事物是相等的。他运用这一原理证明两个三角形全等,因为他认为通过将一个三角形放在另一个三角形之上,加上另外一些给定的条件,可以发现这两个三角形是一致的。但是,在将一个三角形放在另一个三角形上面的过程中他必须移动这个三角形,而在这一过程中他假定了运动中三角形不改变性质。实际上这个公理就是说,我们所处的空间是各向同性的,也就是说,无论放在哪,图形的性质始终不变。这或许是一个合理的假设,但却是一个额外的假设。除此之外,运动的概念定义中也没有涉及到。

另外,欧几里得还运用了大量他没有阐述的公理。高斯注意到这样一个现象,欧几里得提到了位于其他点之间的点和位于其他线之间的线,但是他却没有解释“位于之间”这个概念和它的性质。显然,欧几里得将他头脑中的几何图形引入了他的推理并取代了实际图形所具有的特性,但是并没有在公理中体现出来。图形是一种帮助思考和记忆的手段,但它不能做为推理的基础。欧几里得还用到了另外一个没有明确提出的公理,涉及到专业上称为连续性的问题。莱布尼茨注意到了这一点。欧几里得用到了这样一个事实:A,B两点分别位于线l的两侧(图5.1),连接A,B两点的线必然和l有一个公共点。在图上当然是很明显的,但是并没有任何公理能够保证这个公共点必然存在。我们甚至不能说线l的两侧,因为这也需要公理作为保证。

 

图5.1

除了定义和公理方面的缺陷外,《原本》一书还有许多不完全的证明。一些定理的证明也是错误的,另外一些则仅能证明定理所断言的某一特殊情形或某一特殊构造。后一种缺点相对来说比较小,因而容易补救。欧几里得自以为对不严密的作图给出了精确的证明,但是当人们从整体上看待欧几里得的工作时,却又发现他实际上是对精确的作图给出了不严密的证明。简而言之,欧几里得的著作有着糟糕之极的缺陷。

尽管《原本》一书存在如此众多的缺点,但在1800年以前,最优秀的数学家,科学家和哲学家却把它作为严格证明的理想典范。在他的《思想录》一书中,帕斯卡说道:“几何的精神实质胜于一切能进行完美分析的学科。它从公理入手得到推论,而推论的正确性可以由普适的逻辑规律所论证。”巴罗,牛顿在剑桥大学的老师,也是他的前任,列出了八条理由说明几何的确定性:概念清晰;定义明确;我们的直觉保证了其公理的普遍正确性;公理浅显易懂,且易于想见;公理少;大量定理的可接受性;流畅的论证次序;以及回避掉了一些未知的事物。像这样的鉴定书还可以列出许多,直到1873年,还有一位著名的数论学家,亨利·史密斯(Henry,J.S.Smith)这样说道:“假如几何不严密,那它就什么也不是……。在严密性这一点上,得到普遍首肯的欧几里得的方法是无懈可击的。”

然而,对非欧几何的研究却揭露了欧氏几何许多的缺陷,人们不再崇拜欧氏几何逻辑的完美了。非欧几何正是导致欧氏几何之船倾覆的暗礁。曾经被确信是坚实的土地,如今却被证明是一片沼泽。

欧氏几何当然只是数学的一部分,自1700年以来,关于数字的数学成为数学的主要部分。让我们看看数字的逻辑发展是如何进行的吧。古埃及

在实际应用中他们使用无理数的近似值。但是,因为他们的数学,甚至包括公元前4世纪以前的古希腊人的数学是建立在直觉和经验的基础之上的,因而无法褒贬他们的逻辑结构。

我们知道,对整数的逻辑处理始见于欧几里得《原本》的第七篇、第八篇和第九篇。在这几篇中,欧几里得给出了如下定义:单位元是指借助于它,我们可以把诸多存在的事物中的每一个称作为一,一个数则是由多个单位元的合成。显然,这是不充分的,更不用说,他在这里同样也忽视了需要未定义概念这一事实了。在推导整数的过程中,欧几里得继续运用了上面提到的公理,不幸的是,他的一些证明也是错误的。但是,古希腊人和他们的子嗣们却坚信整数的理论有一个令人满意的逻辑基础做后盾。他们甚至毫不费力地谈到整数的比例,后人称之为分数。然而比例的概念也是没有定义的。

但是,在数的逻辑发展中,希腊人却的确遇到了一个他们无法克服的困难。我们知道,公元前5世纪的毕达哥拉斯学派最早强调了整数和整数的比例在自然研究中的重要性,他们坚持认为整数是度量一切事物的“尺子”。当他们发现一些无法用整数表达的比值时,例如等腰直角三角形的斜边和一腰的比,感到惊讶而又迷惑。他们把那些可以用整数表达的比称为可公度比,那些不能这样表达的,则称为不可公度比。这就是为什么我门把无理数`\sqrt{2}`称作不可公度比的原因. 不可公度比的发展归功于米太旁.

登的希帕苏斯(Hippasus),有关他的一个故事是这样的:毕达哥拉斯派的信徒正在海上,他们把希帕苏斯从甲板上扔了出去,因为他在宇宙间弄出了一个与毕达哥拉斯的教义相悖的元素。这种教义认为,宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数的比。

采用了亚里士多德所说的归谬法,即间接证明法。这一证明指出,如果等腰直角三角形的斜边与一腰可公度,则同一个数将既为奇数又为偶数,显然,这是站不住脚的。证明过程如下:设斜边和腰的比为a/b,其中a,

b2,由于a2是偶数,a必然也是偶数,因任一奇数的平方必为奇数①,而比a/b是最简形式,a是偶数,b必是奇数,既然a为偶数,故可设a=2c,则a2=4c2,又因为a2=2b2,则4c2=2b2,即2c2=b2,所以b2是偶数。若b是奇数,则b2为奇数,因此b为偶数,但同时b是奇数,因而产生了矛盾。

毕达哥拉斯派门徒和古希腊人普遍不愿接受无理数,因为无理数的概

并没有指出无理数是什么,他们肯定不知道他们的小数近似值不可能得到精确值。人们也许会赞赏他们的大胆精神,但数学家绝不会。古希腊人具有与众不同的智力结构,他们不满足于近似。

无理数的发现,提出了一个问题,这成了希腊数学关注的焦点。柏拉图在《规律》一书中呼吁关于不可公度数的知识。这个问题被欧多克斯所解决,他曾经是柏拉图的学生。他把所有的量从几何角度加以考虑,如果都用数字表示的话,在长度、角度、面积和体积中都会产生一些无理数,因而可用几何的方法进行处理。例如,欧几里得用以下的形式来表述毕达哥拉斯定理:直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和,通过求平方的和他表述了这样一个意思:在几何上,两块面积的和等于以斜边为边的

长度,也就是线段时,它们之间就没有什么区别了。

无理数带来的问题要比上面所说的只是用数字表示长度、面积和体积所带来的问题大得多。因为二次方程,例如x2-2=0的根,极有可能是无理数,所以古希腊人用几何的方法来解方程,这样方程的根就可以看作是线段,并且回避了使用无理数。这一发展被称之为几何代数学,而欧几里得的《原本》正是代数与几何的汇集。

除了整数理论外的所有的数学向几何学的转换导致了几个重大的结果。一是它将数和几何彻底地分开,因为只有几何才能解决不可公度比的问题。从欧几里得以后,数学的这两个分支被严格地区分开。同时,由于几何包容了数学的大部分内容,它成为了几乎所有“严格”数学的基础,这种状况至少持续到了1600年。我们现在仍把x2称为x的平方,把x3称为x的立方,而不说x的二次方或x的三次方,因为普遍的量x2和x3曾仅仅只有几何意义。

czbaa,成长吧啊

乘积的数字表示时,显然这一方法就不够用了。对于科学和工程学来说,几何图形远远没有数字结果那么有用,数字结果在任何需要小数处理的地方都能计算出来。应用科学和工程学必须是定量的,当一艘船想知道它在海上的位置时,它必须知道数字的结果,用纬度和经度来表示。要高效地建造房屋、桥梁、船只和堤坝,我们必须知道所用到的长度、面积以及体积的定量的测量值,这样每一部分才能很好地结合在一起;事实上这些定量的数据必须在建造前知道。但是古希腊人却认为准确的推导具有无上的重要性,他们反对数学在商业、航海、建筑和历法推算中的应用,而对他们自己用几何解决无理数困境的方法感到十分满意。

继古希腊文化后,约在公元前300年产生了亚历山大里亚希腊文化(见第一章)。这是古典希腊文化、埃及文化和巴比伦文化的混合体,从逻辑发展的观点来看,它产生了一种演绎学和经验数学奇妙的混合物。其主要的数学家阿基米得与阿波罗纽斯,着手于欧几里得《原本》中的公理化的演绎几何,甚至在他的力学论文中,阿基米得也是从公理着手证明定理。但是受埃及人和巴比伦人实用观念的影响,亚历山大里亚人将数学投入应用中去,我们可以发现,在亚历山大里亚时期出现了许多对长度、面积以及体积进行定量测量的公式。亚历山大里亚的埃及工程师海伦在他的《量度》一书中给出了一个求三角形面积的公式:

$$\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

这里,a,b,c分别为三边长,s是周长的一半,这个式子给出的值常常是个无理数。这个特殊的公式是很了不起的,古希腊人认为三个以上的数的乘积是没有意义的,因为这一乘积没有任何几何意义,而海伦却没有这一种顾虑。在亚历山大里亚希腊人发展的许多纯科学和应用科学中,如历法推算、时间测量、航海、数学、光学、地理学、气体动力学和流体静力学(见第一章)中,无理数被人们随意地使用。

亚历山大里亚人最突出的成就是由喜帕恰斯和托勒密建立的定量的天文学,这一以地球为中心的天文学使人们可以预测行星、太阳及球的运动(见第一章)。为了发展这门定量的天文学,喜帕恰斯和托勒密创立了三角学。数学的这个分支使人们可以通过三角形已知部分的信息求出未知的部分。托勒密解决三角问题的方法与现在有所不同,他必须计算圆的弦长。尽管他在建立其有关弦之间的关系的基本结论时采用了演绎几何的方法,而紧跟着却用了算术和代数的方法计算弦长,而这恰恰是他最终关心的东西。大部分弦是无理数,托勒密对得到有理数的近似值感到满意,而他在研究的过程中却从未对使用无理数有过丝毫犹豫。

亚历山大里亚希腊人自由地使用从埃及人和巴比伦人那里继承来的、没有逻辑基础的算术和代数。托勒密和其他亚历山大里亚希腊人普遍持有

理数,并且在需要的地方就取近似值。例如,无理数的一个最著名的应用

为了得到这一近似值他计算了所有他确信其根为无理数的数的平方根。

从现今的角度出发,和自由使用无理数同样值得注意的就是埃及和巴比伦代数独立于几何的复兴。其杰出代表是海伦和另一个亚历山大里亚希腊人丢番图。他们都将算术和代数独立处理,而不依靠几何引出或依靠几何做为逻辑依据。海伦完全是采用算术的过程,用公式表述或解决代数问题。例如,他处理这样一个问题:给定一个正方形,其面积和周长的和为896英尺,求边长。为解决所论的这一二次方程式,海伦在式子两边同时加上4,配成完全平方,再求平方根,他没有证明而只是描述了怎么做,在海伦的著作中这样的问题还有许多。

在《几何》一书中,海伦提到了加上面积、周长和直径这样的话,他这么说的意思自然是指加上它们的数值。同样,当他说一块面积乘一块面积时也是指两个数值的乘积。海伦还将许多古希腊几何代数法翻译成为算术和代数过程。他和他的继承者们的一些问题,恰恰是曾在公元前2000年巴比伦人和埃及人的文本中出现过的。希腊代数著作是用文字的形式写下来的,并没有任何符号,也没有给出任何过程的证明。从海伦以后,那些导出方程的问题,又成为了一般形式的迷题了。

亚历山大里亚时期的希腊代数在丢番图时达到高峰,关于他的生平我们几乎一无所知。他的著作虽然远远超过了与他同时代的人,但可惜出来得太晚,而没能给他们那个时代带来太大的影响,因为一股毁灭性的浪潮(见第二章)已经开始吞噬这一文明。丢番图写过几本现已全部失传的书,现在我们还能看到他的巨著《算术》中的第六篇。据丢番图说,这本书共有十三篇。《算术》和埃及的莎草纸文稿一样,是个别问题的汇集,在题献中说这是一本帮助他的一个学生学习这门学科而写的练习集。

丢番图走出的重要一步是在代数中引入了一些符号,由于我们看到的都是13世纪以后很晚的一些本子,而不是他的亲笔手稿,所以无法知道确切的符号,但他的确用到了一些相当于我们现在的x,x2到x6的幂和1/x之类的符号。符号的出现自然是一件了不起的事,但使用三次以上的高次幂更为非凡,因为正如我们刚才提到的那样,对于古希腊人,含有三个以上的因子的乘积是没有任何意义的,但在纯算术的基础上这个乘积却是有意义的。丢番图所采用的正是这样一个基础。

丢番图的解题步骤是像我们写散文那样逐字地写的,他的运算是纯算术的,即不借助于几何来说明或证实他的结论。因而(x-1)(x-2)也是像我们今天一样用代数方法解出,他还使用了像a2-b2=(a-b)(a+b)这样的或是更为复杂的代数恒等式。严格地说,他采取了应用恒等式的步骤,但是这些恒等式本身并没有出现。

丢番图代数的另一个非同寻常之处,是他对不定方程的解决。例如:在一方程中有两个未知数,在先前毕达哥拉斯派关于x2+y2=z2的整数解法和其他著作中,这种方程都曾被考虑过。丢番图则对此进行了广泛的研究,他成为了这门代数分支学科的创立人,而现在人们确实把这门学科称为丢番图分析。

尽管丢番图在其代数的应用上卓有声誉,但他只承认正的有理根,而对其他所有根都置之不理。甚至当一元二次方程式有两个正的有理根时,他也只给出较大的一个。当方程很明显将解出两个负根或是无理根或虚根时,他就放弃这一方程式并认为这一方程是不可解的。在有无理根情况下,他就折回去重算并说明如何通过改变方程来得到一个存在有理根的新方程。这一点上丢番图与海伦和阿基米得有所区别。海伦是一个工程师,他求得的量可能是无理数,因此,他接受了这些数,而为了得出有用的数值,便取近似值。阿基米得也寻求准确解,当这些解是无理数时,他就用不等式来限定其范围。我们并不知道丢番图是如何获得他的方法的,他没有借助于几何,因此,他不大可能是将欧几里得的方法进行转化来解二次方程。另外,不定问题没有在欧几里得的理论中出现,而在丢番图的学说中成为一个新的类别。因为我们对亚历山大里亚时期后期的思想的连续性了解甚少,所以在丢番图之前的希腊人著作里,我们找不出多少丢番图研究工作的痕迹。实际上,他的方法和巴比伦的方法更加接近,有一些含糊的迹象表明他的方法受到巴比伦人的影响。但和巴比伦人不同的是,他采用了符号表示法并着手进行不定方程的求解。从整体上说,他的工作是代数学上的一座里程碑。

就算术和代数来说,海伦和丢番图,阿基米得和托勒密的著作读起来就像埃及人和巴比伦的程序化的课本,只告诉我们如何去做。欧几里得、阿波罗纽斯和阿基米得几何的那种有条不紊的演绎证明全然不见了。所解的问题,都是归纳性质的,就是说他们所指明的解具体问题的方法,虽或能应用于一般性的一类问题,但并未规定应用的范围能有多广。各种不同类型的数,整数、分数和无理数(除了欧几里得关于整数的不完善的工作外)都没有确切的定义,也没有一套公理基础来建立演绎结构。

因此,古希腊人留给后人两门截然不同的、发展得不一样的数学分支。一方面是演绎的、系统的、但有些缺陷的几何,另一方面则是经验算术及其延展代数。考虑到古希腊人要求由清晰的公理基础推论得到数学结果这样一个事实,而独立的算术和代数却没有它自己的逻辑结构,因此其出现成了数学史上一个巨大的反常现象。

在阿拉伯人最终毁灭了亚历山大里亚希腊文明以后,印度人和阿拉伯人成为数学的执牛耳者。他们愈发违背了古希腊的数学概念。他们当然应用了整数和分数,另外,他们也毫不犹豫地使用了无理数。实际上,他们引入了一种全新而正确的加减乘除无理数的法则。既然这些法则并没有一个逻辑基础,那它们是如何被制定出来,又如何知道其正确与否呢?答案

认为根式可以同整数一样处理。

印度人远比希腊人幼稚,因为他们看不出无理数概念所涉及的逻辑难点。他们对计算的兴趣使他们忽视了那些在希腊思想中被认为是最基本的区别。但是在他们随意地把那些适用于有理数的步骤运用到无理数的过程中,数学却取得了进展。此外,他们所有的算术都是完全独立于几何的。

印度人引入了负数来表示负债,这一举动加重了数学家们逻辑上的苦恼。在这种情形下,正数就表示资产。据悉最早使用负数的是公元628年左右的婆罗摩芨多(Brahmagupta),他只提出负数的四则运算法则,而没有提出任何定义,公理或定理。12世纪印度数学家的领袖人物婆什迦罗(Bhaskara)指出正数的平方根有两个,一正一负。他提出了负数的平方根问题,但是却说负数无平方根因为其平方为一负数,而负数不可能是一平方数。

负数并没有完全地为所有的印度人所接受。婆什迦罗也说,当把50和-5做为一个问题的两个解时,“这种情况下第二个值应舍去,因为它不合适;人们不赞成负数解。”然而,自负数被引入后,逐渐地为人们所应用。

印度人在代数上也取得了一些进步,他们用词的缩写和几个记号来表示运算和未知数,这些记号虽然没有广泛使用,但足以使我们认为印度人的代数在这方面要比丢番图的高明些。他们在解题中仅给出了步骤;而没有任何推理或证明。一般说来,人们已承认了二次方程的负根和无理根。

印度人运用代数的自由程度远甚于我们刚才所指出的事实。举个例子来说,我们从三角学中获知,当A为一角时sin2A+cos2A=1。三角学的创立人和系统阐述者之一托勒密认为,这个等式是一个涉及圆上各弦之间关系的几何表达式。尽管像我们注意到的那样,托勒密自由地运用算术来计算与已知量有关的未知长度,但他的基本数学和论证却是几何的。而印度人表示三角关系则多是用了像上面所例举的表达式。此外,当他们要从sinA计算得到cosA时,他们就直接采用上面的这个等式和纯代数运算。也就是说,在表达和获得角的正弦和余弦关系时,印度人的三角学依靠代数,远甚于依靠几何。概而观之,印度人注重的是算术和计算方面,而不是演绎结构。他们将数学称为ganita,意思是计算的科学。虽然过程完美,技巧纯熟,但却没有任何迹象表明他们曾考虑过证明。他们有法则但显然没有进行过逻辑考虑。此外,在数学所有领域中,印度人都没有得到一般性的方法或新的观点。

可以毫不怀疑地说,印度人并不了解他们对数学的贡献有多么重要,他们有为数不多的一些不错的思想,例如,数字1到9用独立的记号表示,将六十进制转化为十进制,负数,以及把0当作一个数来对待。这些思想都是漫不经心的。他们并没有明显地意识到它们是极有价值的创举。他们对数学价值并不敏感,他们把他们自己提出的完善的思想和埃及人及巴比伦人最粗糙、原始的思想混合在一起。阿拉伯历史学家阿尔比鲁尼(al-B?r?n?)这样评价印度人,“我只能把他们数学和天文学上的著作……比作宝贝和烂枣,或珍珠和粪土,或宝石和卵石的混合物。这些东西在他们眼里没有什么区别,因为他们不能将其自身上升到一个严格的,科学演绎法的高度”。因为他们具有算术上的特殊天赋并把它应用到算术和代数上,所以印度人的工作扩充了建立在经验和直觉基础上的那部分数学。

一方面印度人在实用中忽视了演绎几何,另一方面阿拉伯人对希腊的几何著作做了批判性研究并全力推崇在建立数学的这一分支中演绎证明所起的作用。然而,在阿拉伯数学中占重要地位的算术和代数领域内,阿拉伯人和印度人的发展极为相似。他们和印度人一样满足于在同样经验的、具体的和直观的基础上处理这两门科学。一些阿拉伯人也确实给出了几何论据来证明他们对二次方程求解的正确性,但其主要的解题方法和途径是代数上的,这一点和古希腊人有所不同。在解三次方程时,例如对x3+3x2+7x+5=0,他们仅给出几何图形,因为代数方法还有待于发现。而这些图形,却不能通过直尺和圆规来完成,而且理由也无严格的阐述。在他们活跃在数学舞台上的几个世纪中,阿拉伯人在他们做出的贡献中,勇敢地抵制了严谨推理的诱惑。

印度人和阿拉伯人的数学最有意思的特点是他们这门学科中自相矛盾的概念。埃及人和巴比伦人满足于接受依据经验得来的一点点算术和几何法则,这不足为奇,因为人类几乎所有的知识都有这样一个自然基础。印度人和阿拉伯人对希腊人传播的数学证明的新概念是很清楚的,但在算术和代数中他们却不关心演绎证明。对印度人,也许情有可原。尽管他们也有一些希腊人著作的知识,但却对此并不看重,他们主要是沿袭了亚历山大里亚希腊人处理算术和代数的方法。但是阿拉伯人却通晓希腊几何,并且正如我们所看到的,他们甚至对其做了批判性研究,此外,在两种文明中,有好几个世纪曾存在着有利于纯科学追求的条件。因此,要求产生有实际用途的结论的压力,不大可能会使数学家们牺牲证明,而去追求眼前的应用。那么,这两个民族在对待算术和代数时,为什么和古希腊人以及许多亚历山大里亚希腊人,如此大相径庭呢?

对此,有许多可能的答案,尽管阿拉伯人对演绎几何有所批评,但从整体上看,两种文明均缺乏批判力。因此,对于数学,他们可能是满足于现买现卖,即几何讲究演绎,但算术和代数则可以依据经验或直观启发。第二种可能是两个民族,尤其是阿拉伯人,认识到几何相对于算术和代数而言,具有截然不同的标准,但不知道该如何给算术提供逻辑基础,阿拉伯人在他们解二次和三次方程时,至少曾试图给出几何根据。这一事实似乎可以说明这种解释的合理。

还有其他可能的解释,即印度人和阿拉伯人都对算术、代数和三角关系的代数公式感兴趣。这种偏爱也许正表明了不同的心态或者可能反映了不同文明的不同需求。这两种文明都偏重实际,正如我们在谈到亚历山大里亚希腊文明时指出的那样,实际需要确实要求提供定量的结果,而这就是借助于算术和代数。有这样一个证据有利于说明心态特征有所不同的论断:欧洲人也从印度人和阿拉伯人那里继承了数学遗产,但他们的反应却大不相同。我们以后将看到欧洲人对算术和几何所处的分离地位是大伤脑筋的,不管怎么说,印度人和阿拉伯人从实用出发,大胆地将算术和代数再一次推到前台,并且把它摆在几乎和几何同等的地位上了。

中世纪晚期和文艺复兴时期,当欧洲人通过阿拉伯人和直接由希腊原稿获得已存在的数学知识时,他们努力想正视这两种数学所面临的进退维谷的困境。真正的数学看上去似乎必定是希腊人的演绎几何,而在另一方面,欧洲人也不能否认从古代便开始发展却没有逻辑基础的算术和代数是有效并且实用的。

他们遇到的第一个问题,就是如何处理无理数。意大利数学家帕哥欧里(LucaPacioli),在耶拿(Jena,德国一城市)的著名德国僧侣、数学教授施蒂费尔(MichaelStifel),医生、学者兼无赖卡丹(JeromeCardan)以及军事工程师斯蒂芬(SimonStevin),这些人沿袭印度人和阿拉伯人的传统,使用无理数并引入了越来越多的种类。斯蒂费

达(Francois Vieta)的表示π的式子是无理数使用广泛的范例。通过考察单位圆的内接正4,8,16,……边形,韦达发现

无理数被自由地运用于文艺复兴时期的一个新发明——对数之中。正数的对数是耐普尔(JohnNapier)于16世纪晚期创造的,其目的是加快算术处理过程的速度。自它发明以后,对数也确是用于这一目的。尽管许多正数的对数是无理数——耐普尔在计算对数的方法中随意地使用了无理数——但所有的数学家都很欢迎这种减轻他们劳动量的工具。

人们随意地使用无理数进行运算,而无理数究竟是不是真正的数也困扰着这些使用者。因此,斯蒂费尔在他的主要著作,主要论述算术和代数的《整数算术》(1544年)一书中,赞成欧几里得关于量(欧多克斯的几何理论)WL0068_0110_0①不同于数的观点,但随着新的发展,他又考虑用十进制小数来表示无理数。使他大伤脑筋的是,如果用十进制小数表示无理数,那将需要无数个数字。一方面他说:

由于在证明几何图形的问题中,当有理数行不通时,无理数取而代之,并且完全证明了有理数所不能证明的结果,……因此我们感到不得不承认它们的确是数,也就是由于使用它们而得到的结果迫使我们必须承认,这些结果在我们看来是真实、可靠和恒定的。另一方面,别的一些考虑又迫使我们全然否定无理数是数。也就是说,当我们想把它们数出来(用十进制小数的形式)时,……却发现它们无止境地往远跑,使我们没有办法准确地捕捉住任何一个无理数本身。……而本身缺乏准确性的特点,使之不能被称作真正的数。……因此,正如无穷大不是数一样,无理数也不是真正的数,而是隐藏在一种迷雾后面的东西。

接着,斯蒂费尔指出实数不外乎整数和分数,显然,无理数既非整数又非分数,因此也不是实数。一个世纪以后,帕斯卡和巴罗指出无理数仅仅是记号,它们脱离连续的几何量后便不复存在,无理数的运算逻辑必须以欧几里得关于量的理论为依据,但是,欲达到这样的目的,这些理论不免有些力不从心。

在另一方面,也有些肯定的论断认为无理数是合理的,斯蒂芬承认无理数是数,并且可用有理数来不断逼近,瓦里斯(JohnWallis)在他的《代数》(1685年)一书中,将无理数看作是地地道道的数。但是,斯蒂芬和瓦里斯都没有对此提供任何逻辑基础。

此外,当笛卡尔在其《几何》(1637年)一书和费马在他1629年的手稿中发明解析几何时,他们对无理数也没有清晰的概念。然而,他们都推测在所有的正实数和一条直线上的点之间存在着一一对应关系,也就是说直线上任何一点到某一确定起始点的距离都可以用一个数表示。由于许多数都是无理数,所以尽管并未找到逻辑依据,两个人还是默认了无理数的存在。

欧洲人还面临着负数的问题。在欧洲,人们是通过阿拉伯人的著作知道这种数的,但在16、17世纪大多数数学家都不承认它们是数,即使承认了,也并不认为它们是方程的根,15世纪的丘凯(Nicolas Chuquet)和16世纪的斯蒂费尔都把负数说成是荒谬的数。卡丹给出了方程的负数根,但认为是不可能的解,而仅仅是一些记号。他把负数根称为虚构的,正根称为真实的。韦达则全然摒弃负数,笛卡尔也只部分地接受了它们。他把方程的负根称为假根,因为他们代表比没有还要少的数,但是,他又指出给定一个方程,可以得到另外一个方程,使它的根比原方程的根大任何一个数量。于是一个有负根的方程就可以化成一个有正根的方程了。因而他指出:既然我们可以把假根转化为真根,那么负数也是可以勉强接受的,但他始终没有与负数交好。帕斯卡则认为从0中减去4,纯粹是胡说八道。他在《思想录》中说到:“我了解那些不能明白为什么从零中取出四后还剩零的人。”

帕斯卡的密友,神学家兼数学家阿尔诺(Antoine Arnauld)提出一种很有趣的论据来驳斥负数。阿尔诺对-1:1=1:-1提出质疑,由于-1比1要小,那么较小数与较大数的比怎么可能等于较大数与较小数的比呢?莱布尼茨承认这里存在缺陷,但他又申辩说可以用这种比例来进行计算,因为它们的形式是正确的,正如我们可以用虚量来进行计算一样(我们马上就会看到虚量是早已引入的)。但是他又含糊其词地说,所有没有对数的量都是假想的(不存在的)。这样说来,-1是不存在的,因为大于1的数的对数是正的,在0和1之间的数的对数是负的,所以没有什么数可以做为负数

最早把负数单独地写在方程的一边的代数学家之一是哈里奥特(ThomasHarriot),但他并不承认负根,在他的遗著《实用分析术》(1631年)中甚至“证明”了这样的根是不可能的。庞贝利(Raphael Bombelli)给出了负数的明确定义,但是他却不能证明负数的运算法则,因为即使对于正数,人们也没有找到其可用的基础①。斯蒂芬则在方程中用到了正的和负数系数并且承认负根的存在。吉拉德(Albert Girard)在他的《代数中的新发明》(1629年)一书中把负数和正数同等对待,并在二次方程的两个根均为负数的情况下也给出两根。吉拉德和哈里奥特都用减号表示减法运算和负数,但负数是一个独立的概念,而减法则是一种运算,因此,实际上应该用两种分离的记号来表示它们。

总的说来,在16、17世纪,并没有许多数学家心安理得地使用或者承认负数,更谈不上承认它们可以作为方程的真实的根。当时的人对负数还有一些古怪的概念。尽管瓦里斯超过了他那个时代的人,并接受了负数,但他却认为负数大于无穷大同时小于零。在他的《无穷大的算术》(1655年)中,他论证说,当a是一个正数时,比值a/0是无穷大,那么把分母变成负数,即在a/b中,b为负数时,这个比就应该大于a/0,因为分母比0要小,所以这个比就是大于无穷大的。另外一些更先进的思想家,像庞贝利和斯蒂芬提出的主张,则相当有助于整个实数体系被人们完全接受。庞贝利假定在实数和直线上(给定单位长度)的长度存在着一一对应关系,他还定义了长度的四则基本运算,他认为实数及其运算已通过这些长度及对应的几何运算进行了定义。这样一来,实数体系就在一个几何的基础上合理化了。斯蒂芬也把实数看作是长度,他相信,通过这样的解释,无理数的困难也可以迎刃而解了。当然,这种观点仍然将实数和几何紧紧地联系在一起。

当欧洲人还没有从无理数与负数的困境中摆脱出来时,他们又糊里糊涂地陷入了我们现在称之为复数的泥沼之中。他们在把平方根的算术运算推广到所有已出现的数上时,例如,在求解二次方程的过程中,得到这种新数。像卡丹则在《重要的艺术》(1545年)的第37章中提出并解决了把10分为两部分,使其乘积为40的问题。这一看似荒谬的问题确实有解。因为正如达兰贝尔所说的那样,“代数是慷慨的,它的给予常常超过你的

是如此微妙地发展着,而它的尽头,却正如常言所说,是既精致又无用处的”。

卡丹在求解三次方程的代数方法中进一步地和复数打交道,这种代数方法在他的著作中得以体现,尽管他寻求和最后得到的只是实根,但在有复根存在的情况下,他的公式也会给出复根。特别是当所有的根都为实数时,他的公式也将产生复数,并且实根可以由这些复数得到。这样看来,他应将复数的地位提高些,但是,因为他不知道如何求复数的立方根以获得实根,所以他就把这个难点搁置起来了,他用了另外一种方法来求实根。

庞贝利也考虑了三次方程的复数解,并且采用了实际上和现代形式一样的公式,来表述复数的四则运算,但他仍认为复数是无用和诡辩的。吉拉德则承认复数至少可以作为方程的形式解,在《代数的新发明》中,他说:“有人会说,这些不可能的解(复根)是什么?我的回答是:有三方面的解释,一是一般法则的必然性,二是没有其他的解,三是因为他们有用。”但是卡丹的先进观点并没有产生什么影响。

笛卡尔也摒弃复根,并造出“虚数”这个名称。他在《几何》一书中说:“真根和假根(负根)并不总是实在的,有时它们是虚的。”他认为负根至少可以在将出现它们的方程转化为有正根的方程后变成“实的”,但对复根却不能这么做,因此,复根不是实的而是虚的;它们并不是数。甚至牛顿也不认为复根是有意义的,极有可能是因为在他那个时代复根缺乏物理意义,实际上,在《普遍的算术》(第二版1728年)中他说:“正是那些方程的根应该经常出现不可能的情况(复根),才不会使那些本应不可能的问题看起来是可能的。”也就是说,在物理和几何上没有解的问题应该具有复根。

常被人引述的莱布尼茨的一段话反映了对复数缺乏清晰认识的情况:“在那个分析的奇观中,上帝的精神找到了一个超凡的渲泄口,这个奇观是理想世界的怪物,是介于存在和不存在之间的两栖物,这就是我们称之为-1的虚根的东西。”尽管莱布尼茨已在形式上运用了复数,他还是不理解复数本质。为了证实他和约翰·贝努利在计算中对复数的应用,莱布尼茨指出这样做并无损害。

尽管16、17世纪人们对复数缺乏任何清晰的认识,但实数和复数的运算步骤却得到改进和推广。在《代数》一书中,瓦里斯说明了如何在几何上表示实系数二次方程的复数根。瓦里斯说,实际上,复数并不比负数更荒诞,由于负数可以在一条直线上表示出来,那么复数也就有可能在一个平面上表示,他确实给出了不很完善的表示法,当方程ax2+bx+c=0有实根或复根时,他还给出了其根的几何作图。尽管瓦里斯的工作是正确的,但却被人们所忽视了,因为数学家们不肯接受复数。

在17世纪,还出现了其他一些数学逻辑的问题,在下一章我们将讨论它们。这里我们将着重讨论18世纪的数学家们在致力于理解和证实他们有关无理数、负数、复数以及代数的工作中遇到的困难。比如(正)无理数,尽管并未对其下定义,也没有确定其性质,但它们在直观上很容易被接受,因为其性质和整数、分数的一模一样,因此,数学家们自由地使用它们并且没有对其含义和性质提出任何新的疑问。包括欧拉在内的一些人,认为其逻辑基础就在欧多克斯的量的理论中,唾手可得。这一理论在欧几里得的《原本》第五篇中有详细说明。欧多克斯给出的量的比例的理论与几何紧密相连,但它决非无理数的理论。18世纪的人们虽然在感觉上对无理数十分明了,对其逻辑却知之甚少。负数对数学家的困扰,远甚于无理数,大概是因为负数没有现成的几何意义,并且它的运算规则也非常奇怪。尽管从1650年以后,负数的运用十分自由,但却因为它的概念和逻辑基础不清楚,数学家们还是继续粗制滥造一些证明,或者是反对其应用。在著名的《百科全书》的“负数”这一词条中,理性时代的伟大学者之一达兰贝尔说:“导致负数解的问题意味着假设的某些部分原本是错误的,但都被假定为正确的。”在他关于负量的论文中,他又说:“得到一个负数解意味着该数的反面(相应的正数)是所需的解。”

欧拉,这位18世纪最伟大的数学家,写下了人类历史中最杰出的代数课本之一。在他的《对代数的完整介绍》(1770年)一书中,他证明了减-b的运算等于加b运算,因为“免除负债即意味着奉送礼物”。他还证明了(-1)×(-1)=+1,因为其积必为+1或-1,而他已经指明1×(-1)=-1,那么(-1)×(-1)必为+1。但即便是在18世纪最好的课本中,表示减法的减号和像在-2中用来表示负数的负号,仍然常常被弄混。

18世纪时期仍有许多人反对负数,英国数学家马塞雷(BaronFrancis  Maseres)是剑桥大学克莱尔学院的研究员和皇家学会会员,他曾写过一些令人钦慕的数学论文,并发表了一篇关于人寿保险理论方面的重要文章。1759年,他发表了《论代数中负号的运用》一文,他指出如何通过仔细将二次方程分类来避免负数(除了用来表示而不是实际运算,从较小量中减去较大量以外),特别是负根。那些具有负根的方程都被个别地考虑,并且理所当然地把负根剔除掉。对三次方程他也采取同样的方法。关于负根,他说:

……就我们所能判定的而言,它们只会给整个方程理论添乱,并且使那些本来是非常平常简单的事物变得晦涩难懂,玄妙莫测……。因此,我们确实希望负数从未进入代数,或者是重新把它剔除出去。如果能做到这点的话,我们有理由想见,对于那些含糊和被莫名其妙的概念所困扰的代数计算,许多博学睿智之士现在所提出的异议,也将因此而消除;也将可以肯定地说,代数,即普遍算术,就其本身性质而言,是一门同几何一样简单、明晰和易于证明的科学。

关于复数的意义和用途的争论也越来越尖锐。一些数学家引入了负数的对数(以及复数的对数)作为复数,这一举措,使复数处境更为尴尬。

从1712年开始,莱布尼茨、欧拉和约翰·贝努利通过信件与论文在复数的意义,特别是负数和复数的对数问题上争论不休。莱布尼茨与贝努利用笛卡尔的“虚的”一词来描述复数,“虚的”就是说这种数(以及负数)是不存在的,尽管他们两个人都在计算中不可思议地成功运用了这种不存在的数。

莱布尼茨,正如我们所提到的那样,给出了各种证明来说明负数的对数是不存在的。约翰·贝努利认为loga=log(-a),他还用好几个证明做为

约翰·贝努利在这几年中有许多通信往来,但其中大多数都是些废话。

欧拉找到了真正的答案,其结论在1751年的一篇论文《方程中虚根的研究》中发表,虽然他的最终结论是正确的,但其证明却是错误的。这一结论适用于所有的复数,也包括实数(因为x+ iy中,y等于0的话,该数就变成了实数)。这一结论是log(x+iy)=log(ρeiψ)=logρ+i(ψ±2nπ)①然而,欧拉的这一论文却不为他的同时代的人所理解。

欧拉在1747年4月15日给达兰贝尔的一封信中阐述了其结论,他甚至指出一个正实数有无穷多个对数值,但只有一个实数;这个实对数值就是我们在计算实数的对数时常用的那一个。欧拉的信和论文并没有说服达兰贝尔。在《负数的对数》一文中,达兰贝尔举出各种玄奥莫测的分析学的和几何学的论据来否定这种对数的存在,他使这一问题变得更加神秘。他还说这仅仅是一个措辞的问题,并以此掩盖他与大师欧拉之间的分歧。

所有卷入这一论战的人都坚持认为自己的想法是正确的。在18世纪前半叶,人们还认为一些复数的运算,如复数的复数幂,将会产生一种全新的数。但正是达兰贝尔本人,在《关于风的一般成因的考虑》一文中,证明了复数的所有运算的结果只能是复数。尽管在这一问题上,达兰贝尔迈出了举足轻重的一步,但他的证明确实是由欧拉和拉格朗日所完善的。也许达兰贝尔已意识到了他的关于复数的思想处于一种很混乱的状态,因为在他为《百科全书》写数学条目时,并没有提及复数。

显然,欧拉也仍然没能弄明白复数,在18世纪最优秀的代数课本,他的《代数》(1770年)一书中,他说:

负数的平方根既不是零,也不是比零小或比零大的数。显然负数的平方根不能被划归为任何可能的数(实数),因此我们必须说它们是不可能的数。而由这种情况,我们将导出这样一种数的概念,它们在本质上是不可能的,并且通常被称为虚数或幻想中的数,因为它们仅存在于想象之中。

尽管欧拉将复数称为不可能的数,但他又说复数是有用的。他认为复数的作用在于能够告诉我们哪个问题是有解的,哪个问题是没有解的。这样,当我们要求把12分为两部分,并使两部分乘积为40(卡丹的幽灵)

知这个问题是没有解的。尽管对于复数有如此众多的反对意见,在18世纪,人们还是像使用实数一样有效地使用复数,数学家们也因此对它产生了一些信心。在数学证明时,运用复数,最后的结果总是正确的,并且复数在其中发挥着显著作用。关于这些证明的有效性,甚至往往是结果的正确性的疑虑依然困扰着数学家们。达兰贝尔在《百科全书》一书中关于负数的表述,反映了人们对待接受几种有些麻烦的数的普遍态度,这些数包括无理数、负数和复数。达兰贝尔的这一条目,写得一点也不清晰,他得到这样一个结论:“不管我们如何看待这些量,负数的代数运算法则已普遍地为人们所接受并被认为是正确的”。

在欧洲人试图去理解各种类型的数的几个世纪中,另外一个重要的逻辑问题变得突出起来。即运用代数的逻辑,第一本汇集了重要的新成果的著作是卡丹的《重要的艺术》。书中给出了如何求解三次方程,如x3+3x2-6x=10和四次方程,如x4+3x3+6x2+7x+5=0。在约一百年中,代数体系中还增添了大量的其他成果,像数学归纳法,二项式定理,求高次或低次方程的根的近似法等,而主要的贡献者,则是韦达、哈里奥特、吉拉德、费马、笛卡尔和牛顿。但这些成果却未得到证明,尽管卡丹和其后的代数学家庞贝利、韦达确实给出过几何证明以证实他们解三次方程和四次方程的方法,但是,由于他们没有考虑负根和复数,因而其证明实际上并不能称之为证明。此外,引入像四次幂和五次幂这样的更高次方程,即意味着仅限于三维的几何不能作为证明的依据,其他著者的成果,也常常只是一些从具体的例子中提出的结论。

韦达向正确的方向迈进了一步,从埃及人和巴比伦人的时代起,一直到韦达做了这方面的工作为止,数学家们仅解决带有数字系数的线性、二次、三次和四次方程。因而,像3x2+5x+6=0和4x2+7x+8=0这两个方程被认为是不一样的,尽管很明显地存在着一种同样的方法来解决这两个方程。此外,为了避免负数,在很长的一段时期中,人们将诸如x2-7x+8=0这样的方程用x2+8=7x的形式来处理,这样,同次方程中就有许多种类并且每一种都是分别求解的。韦达的一个主要贡献就是引入了字母系数。

韦达所受的专业训练是律师,总的说来,他将数学作为一种业余爱好,并自己出资出版发行其著作。尽管以往曾有人零星和偶然地用到了字母,但韦达是第一个有意识地系统地使用字母的人,字母的主要的新用途不仅是用于表示未知量或未知量的幂,而且用以表示一般的系数。这样,所有的二次方程可以一下子写成ax2+bx+c=0(我们现在的记法)来处理。在这里, a、b、c这些字母系数可以表示任何数,x则代表未知量或要解的未知量。韦达将其新型的代数叫做类型计算,以区别于数字计算,他完全清楚当他研究一般二次方程ax2+bx+c=0时,他所处理的是整个一类的表达式。在他的《分析艺术引论》(1591年)中区分类型计算和数字计算时,韦达划分了算术与代数的界限。他说,代数是作用于事物的类别或形式上的方法,是类型计算。算术和数字系数的方程则是与数打交道,是数字计算。这样一来,通过韦达所走出的这一步,代数成了研究形式的一般类型和方程的学问,因为对一般情况的研究包含了无穷多个特殊情况。

韦达用字母表示一类数的优点在于:如果证明了某种求解ax2+bx+c=0的方法是正确的,那么,这种方法就可以确保求解无穷多个具体方程,如3x2+7x+5=0的正确性。韦达的贡献在于使代数证明的普遍性成为可能,但是如果想对a、b、c(在这里代表任意的实数或复数)进行运算时,就必须知道这一运算对所有的实数和复数都适用。但因为这些运算都未得到逻辑上的证明,甚至数的类型的确切定义也未曾有明确的表述,所以对普遍的a、b、c 运算的证明也自然不能实现,韦达自己也是摒弃负数和复数的。因此,在他的类型运算中所预见的普遍性也仅能限于某一范围内使用。

韦达的思想就算是合理的,也无法解释。一方面,他在运用字母系数上做出了极为重要的贡献,而且,韦达充分认识到这一举措使普遍的证明成为可能,但就其拒绝承认负数和用字母系数表示负数上看,却同样揭示了即使是人类最优秀的头脑,也存在着严重的局限性。负数的运算法则已存在了约八百年,并且以此法则能够得到正确的结果。韦达本不应反对这些法则,因为这些法则差不多就是韦达所处时代的代数所能提供的全部,只是负数缺乏正数所具有的直观性和物理意义。显然,左右数学家们接受什么的并不是逻辑而是直觉,直到1657年,赫德(John Hudde) 才允许了字母系数既可以代表负数,又可以代表正数,从此以后,数学家们才开始自由地使用它。

在韦达时代,即16世纪末,代数只是几何的一个附庸。从解决几何和商业中的简单实际问题的目的出发,产生了涉及一个未知数的一元方程和涉及两个未知数的二元方程的解法,直到17世纪代数的威力才被逐渐认识到。笛卡尔和费马迈出了举足轻重的一步,这就是坐标几何(应该称之为代数几何)的产生。其基本思想是,曲线显然可以用方程来表示。例如,x2+y2=25代表半径为5的圆,在证明曲线任意多个性质方面,代数表示法要比古希腊人纯粹的几何法或综合法容易得多。

然而,当笛卡尔于1637年出版其《几何》时,与费马1629年的著作(费马去世后出版)一样,却不打算接受负数。因此,代数方法的思想进入了几何,却未充分发挥其作用,这一点是很明显的。但笛卡尔和费马的继承者们却将负数引入了坐标几何,使其成为分析和几何学重要发展的基础。

第二个将代数推向前台的创举是运用代数公式表示函数,正如我们所知的那样(第二章),伽利略引入了用公式描述物体运动的思想。这样,以每秒100英尺的速度向上抛的物体距地面的高度可用公式h=100t-16t2来表示,关于运动的各种情况都可通过代数方法从这个公式中推导。例如,物体所能达到的最高高度,达到最高高度所需的时间以及物体返回地面所需的时间。实际上,代数的巨大作用很快就被认识到,数学家们开始广泛地运用代数,使其迅速发展成为占主导地位的科学并超过了几何。

代数的自由使用激起众怒,哲学家霍布斯尽管在数学上是个小人物,但在反对“那群把代数用到几何上去的家伙”时代表了许多数学家的意见。霍布斯说这些代数学家把记号错认为几何,他还称瓦里斯关于圆锥曲线代数处理的著作,是一本无耻的书和“记号之痴”。许多数学家,包括帕斯卡和巴罗都反对代数的运用,因为它没有逻辑基础,他们坚持用几何方法和证明。一些人则相信可以退回到在几何基础上建立代数学的基础,并以此自慰。但我们已说过,这只是一个幻想而已。

虽然如此,出于一种实用的目的,大多数数学家还是自由地使用着代数。代数本身在解决各种实际问题时的价值以及甚至是在处理几何问题时的优越性是如此显著,以致使数学家愈发深入到这一领域中。

笛卡尔始终将代数看作是为几何服务的,而瓦里斯和牛顿的观点却与之不同,他们承认代数的全部功用。虽然如此,数学家们对放弃几何方法还是极不情愿。据编注了牛顿《原理》第三版的潘伯通(Henry Pemberton)说,牛顿不但经常对希腊几何学家表示钦佩,而且还为自己没有比过去那样更紧密地追随他们而自责。在他给J.格雷戈理的侄子D.格雷戈里(David Gregory)的一封信中,牛顿认为代数学是数学中笨拙者的分析。但在他自己的《普遍的算术》(1707年)中,却同任何一本著作一样,欲建立代数的权威性。在这本书中,他将算术和代数作为基础的数学科学,并仅在几何能提供证明的地方才允许其存在。但是从整体上看,这本书只是法则的堆砌,很少有证明甚至是直观证据来说明数和代数过程。牛顿的观点是在代数表达式中用字母代表数字,而算术的确定性是没有什么可怀疑的。

同样的,莱布尼茨也注意到了代数增长着的优势并充分肯定了它的有效性,但考虑到缺乏证明,莱布尼茨不得不这么说:“几何学家几句话就能证明的东西,在微积分中却往往是十分冗长的……代数的运用是有保证的,但它并不更好一些。”他把当时的代数研究工作称为“好运气和机遇的混合物”。但欧拉却在《无穷小分析引论》(1748年)中公开并毫不保留地称誉代数远比希腊人的几何方法优越。直到1750年,人们才得以放心大胆地运用代数。此时,代数已是一棵枝繁叶茂的大树,但它却没有根。数系和代数学的发展形成了鲜明的对比,几何学是公元前300年前用演绎的方法建立起来的,后面我们将看到几何中的几个瑕疵也易于纠正。但算术与代数学却怎么也找不到逻辑基础,这样看来,缺少逻辑基础,势必会困扰所有的数学家。但是,精通希腊演绎几何的欧洲人为什么会接受并运用没有依逻辑而建立起来的各种类型的数和代数学呢?

这里有几个原因。人们接受整数和小数的性质时,其基础自然是经验。当在数字中增添新型的数时,建立在经验基础上并已为人们接受的正整数和小数的运算法则就被用于这些新数上,并以几何思想作为得心应手的指导。字母在引入时,仅代表数并如同数一样处理,复杂些的代数技巧,则似乎可以由像卡丹所用的几何证明或由纯粹的特例的归纳推理得以证实。当然,这些程序在逻辑上都是不能令人满意的,即使是在用到几何的地方也没有为负数、无理数和复数提供逻辑。当然,四次方程的解是不可能由几何证明的。

其次,一开始,特别是16世纪和17世纪,人们并不把代数看作是一门需要有自身逻辑基础的数学的独立分支,而认为是分析几何问题的一种方法。许多从事代数研究的人,著名的有笛卡尔,都认为代数是一种分析方法。从卡丹的《重要的艺术》和韦达的《分析艺术引论》这两个题目可以看出,他们用艺术这个词,其含义就是今天我们常用于与科学相对的意义。而现在通称为解析几何学的笛卡尔的代数几何学,正反映了人们对待代数的这种态度。直到1704年,哈雷在英国皇家学会的《哲学学报》上还发表了一篇文章,说代数是一种分析艺术,但笛卡尔的解析几何在使数学家们深感代数的力量这一点上起了至关重要的作用。

终于,使用负数和无理数和在科学研究中运用代数产生的结果与观察和实验的结果吻合得非常好。比如说,在某些科学研究中使用负数时,不管数学家们存在着什么样的疑虑,都将会因为最终数学结果具有物理上的合理性,而得以消除。人们主要关心的是科学运用,因此,任何在工作中能起作用的手段和方法,几乎都被毫不犹豫地接受。科学的需要战胜了逻辑上的顾忌。数学家们把对代数合理性的怀疑抛到了一边,就好像贪婪的实业家把道德准则抛到了一边。他们冒失却又自信地运用新代数,这样一来,代数学就逐渐被他们改造成一门独立的科学,包含并“建立”了数与几何的结论。实际上,瓦里斯也曾断言说,代数的过程和几何过程是一样合理的。

到17世纪末,数和代数学已被认为是独立于几何而存在的。数学家们为什么没有致力于逻辑上的发展呢?既然有像欧几里得《原本》中所包含的几何的演绎推导结构这样的样本,那么,数学家们又为什么没有发展一个数和代数的演绎推导结构呢?这是因为几何的概念、公理和原理从直观上看,远比算术和代数的易于接受,画图(在几何中称为作图)可辅助解释结构。但无理数、负数和复数的概念却微妙得多,即使可以得到图形,也无法解释数字作为数和建立于数系基础上的字母表示法的逻辑结构。为数系和代数建立逻辑基础是一个非常困难的问题,远比17世纪的数学家能体会到的要难,后面我们将有机会探讨它(见第八章)。幸运的是,那时的数学家容易轻信别人,甚至可以说,是很天真的,而并没有在逻辑问题上小心翼翼,因为自由创造须领先于形式化和逻辑基础,数学创造中最伟大的时期已经到来。

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① 任一奇数可表示为2n+1,n为整数,则(2n+1)2=4n2+4n+1,此数必为奇数。——原注
① 欧多克斯认为量是表示线段、角、面积、体积,时间这些连续变动的东西,而数是从一个跳到另一个,例如从4跳到5。——译注
① 奥登诗云:负负得正,不言而喻。——原注
① 欧拉在这里采用了被称为复数的极坐标表示的形式。,ψ是原点到x+iy的线段与x轴之间的夹角,若y=0,则ψ=0。——原注