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第七章 不合逻辑的发展:19世纪的困境

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第七章  不合逻辑的发展:19世纪的困境

 

噢,上帝,为什么二加二等于四?

                           ——亚历山大·蒲柏

历史进入19世纪,数学陷入更加自相矛盾的处境。虽然它在描述和预测物理现象方面所取得的成功远远超出人们的预料,但是,正如许多18世纪的人所指出的那样,大量的数学结构没有逻辑基础,因此不能保证数学是正确无误的。这种自相矛盾的情况在19世纪上半叶一直存在,同时许多数学家开始研究自然科学的一些新领域,而且成就斐然。但是数学的逻辑基础问题并没有得到解决,而且,对于负数、复数、代数和微积分及其扩展分析数学的批评仍然在继续。

让我们来回顾19世纪早期数学所处的困境。我们可以忽略那些依然存在的,对使用无理数的微不足道的反对意见。无理数,可被看作是直线上的点,它在直观上并不比整数、分数更加难以接受,它们和整数、分数遵循同样的规律。对于它的作用,人们没有异议。所以,虽然无理数也没有逻辑基础,却被人们承认了。而真正遇到麻烦,直观上难以被接受的是负数和复数,它们在19世纪所遇到的攻击和非议,其剧烈程度不亚于18世纪。

威廉·弗兰德(Willian Frend),笛·摩根的岳父,曾就读于剑桥大学的耶稣学院,在他的《代数原理》(1796年)序言中直率地宣称:

“用一个数减去比自身大的数是不可理解的,然而许多代数学家都这样做,他们称小于零的数为负数,认为两个负数相乘,其结果为正数。他们提出每一个二次方程都有两个根,这一点,初学者在任一给定的方程均可验证。他们用两个不可能存在的根使得一个方程可解,并试图找出一些不可能存在的数,这些数自身相乘后,得到单位元素1。所有这些都是荒诞不经的,并为通常思维方式所排斥。但是,从一开始采用这些理论就像其他虚构的东西一样,拥有了许多坚定不移的支持者,这些人喜欢对新生事物笃信不疑,对正统思想却深恶痛绝。

1800年在马赛罗(Baron Maseres)出版的一本书中(见第五章)收录了弗朗德(Frend)的一篇文章。弗朗德在此文中批评了方程根的个数与其次数相等这一普遍规律,认为它只适用于所有根为正的少数方程。对那些接受此规律的数学家,他说:“他们在努力找出方程所有的根,但实际上这是不可能的。为了掩盖自己所提出的规律的错误,他们不得不给一些数起一个特殊的名字。这样,至少在字面上可以使他们的规律看起来是正确的……”。

卡诺,法国著名的几何学家,其名著《关于无穷小分析的形而上学的思考》(1797年第一版,1813年修订版)被翻译成多种文字,使他在自己的工作领域之外声誉鹊起。他断言存在小于零的数的概念是错误的,作为一种在计算时有用、假想的东西,负数可以被引入代数,然而,它实际上并不是数,并且只能导致错误的结论。

18世纪关于负数和复数取对数的争论使许多数学家非常困惑,以致于到了19世纪,他们仍对此喋喋不休。1801年,剑桥大学的伍德豪斯(Robert Woodhouse)发表了一篇题为《关于一个借助虚构的数得到的结论的正确性》的论文。他在文中说道:“在关于负数和复数取对数的争论中,许多数学家互相攻击对方理论时所指出的矛盾和谬误,都可以作为说明那些数不可用的证据。”

柯西,最伟大的数学家之一,在19世纪初创立了复变函数理论,也不

柯西认为将这些表达式作为一个整体是毫无意义的。然而,它们还是说明

b=d,“每一个虚数方程仅仅是两个实数方程的符号表达式”。1847年,晚年的柯西又提出了一个相当复杂的理论,可以用来判断用复数进行运算

定和抛弃一个我们不知道它表示什么,也不知道应该让它表示什么的数。”

1831年,著名的数理逻辑学家,并在代数领域有所贡献的笛·摩根在他的著作《论数学的研究和困难》中表示了对复数和负数的反对。他顺便说明自己这本书把当时牛津和剑桥使用的最好的书中的一切东西都包揽无遗。他写道:

 

一个作为问题的解出现,就说明一定有某种矛盾或谬误。只要一

不可思议的。

然后,笛·摩根举一个例子来说明:父亲56岁,他的儿子29岁,问什么时候父亲的年龄是儿子的两倍?通过解方程56+x=2(29+x)得到x=-2,这个结果显然是荒谬的。接着他又说如果我们把x换成-x,然后解方程56-x=2(29-x)就得到x=2。因此,他推断出:最初问题的提出就是错误的,答案为负数表明第一个方程的列法是不正确的。

谈到复数,他说:

谬绝伦的。然而,通过这些记号,代数中极其有用的一部分便建立起来了。它依赖了一个必须用经验来检验的事实,即代数的一般规则都可以应用于这些式子(复数),而不会导致任何错误的结果。要把这个性质求助于经验,那是与本书开头所写的基本原理相违背的。我们不能否认实际情况确实如此,但是必须想到这只不过是一门很大的学科中的一个小小的孤立部分,对于这门学科的其余一切分支,这些原理将完整地得到应用。

这里的原理,他指的是数学真理应该由公理经过演绎推理得出来。

接着,他对负根和复根加以比较:

在负的结果和虚的结果之间有截然不同的区别。当一个问题的答案是负的时候,在产生这个结果的方程里变换一下x的符号,我们就可以发现形成那个方程的方法有错误,或可证明问题的提法大受局限,因而可以扩展,使之容许一个令人满意的答案。但当一个问题的答案是虚的时候,得到的就不是这样了。

稍后,他又说:

对于支持和反对这种问题(如用负的量等等)的所有论据,我们不赞成采用完全介入的办法来阻止学生的进步,这些论据他们不能理解,而且论据本身在两方面都无确定结果;但是学生也许会意识到困难确实存在,这些困难的性质可以给他们指明,然后他们也许会考虑充分多的(分类处理的)例子,从而相信法则所导致的结果。

哈密尔顿,这位在其他领域也颇有建树的伟大数学家,也不愿意接受负数和复数。1837年他在一篇文章中表明了他的反对意见:

毋庸置疑,当它从以下的原理出发(正如通常已是如此)时,复数和负数学说,很值得怀疑,甚至是不可相信的:小数可以减大数,其结果小于零;两个负数,或者说两个代表的量小于零的数可以相乘,其结果将是一个正数,即一个代表的量大于零的数;尽管一个数,不论其正负,它的平方(也就是自身相乘)总为正数,但我们却可以找到或者说想象或确定这样一类被称之为虚数的数,虽然其具有负的平方值,并因此而被假定为一类非正非负也非零的数,而它们所被认为代表的量既非大于零,又非小于零,更不等于零,尽管在此基础上逻辑形式可以建立成一个表示式的对称系统,而且通过正确应用有用的以此基础建立的规则,可以学会一种应用的技巧,但在这样一种基础上,哪里有什么科学可言。①

布尔,这位和笛·摩根同负盛名的逻辑学大师,在《思维规律研究》

它,我们就可以从可解释的表达式经过不可解释的表达式,而得到可解释的表达式。

使数学家们相信复数的不是逻辑,而是威塞尔、阿尔刚和高斯(见第四章)等人的几何表示。但是,在高斯的著作中,仍然能发现他并不愿意承认复数。高斯给出了代数基本定理(每个n次多项式方程有n个解)的四个证明。在前三个证明中(1799、1815、1816年),他处理的是实系数的多项式,他又预先假定复数与笛卡尔平面中的点是一一对应的,尽管没有明确地定义对应。实际上,在实数平面内并不能标出x+yi的值,只能把x,y当作一个点的坐标标出。另外,高斯的证明并没有真正用到复变函数理论,因为他将涉及到的函数实部虚部分开了。1811年,他在给贝塞尔的一封信中更明确地指出,a+bi可以用点(a,b)表示,在复平面上从一点到另一点有多条路径可走。如果从这三个证明和其他未出版的著作中显示的思想来判断,高斯无疑仍在关注复数和复函数的地位问题。1825年12月11日,他在一封信中说自己不能从“负数和复数的玄奥中摆脱出

然而,如果说高斯还对自己和其他数学家是否承认复数心存顾忌的话,到1831年,他已经无所牵挂了。他公开陈述了复数的几何表示,在同年发表的一篇论文中,高斯非常清楚地将a+bi表示为复数平面中一点,而且用几何方法实现了复数的加法和乘法(见第四章)。他又指出:虽然现在已充分理解了分数、负数和实数。但对于复数只是抱了一种容忍的态度,而不顾它们的巨大价值。对许多人来说,它们不过是一种符号游戏,但是,

就能将这些数归入算术的范畴。因此,高斯满足于这种直观理解,他认为,

人们就不会觉得这些数非常晦涩难懂。他说几何表述将原本深奥的虚数变得清晰明白了。他引入术语“复数”与笛卡尔的术语“虚数”相对应,并

随意地使用没有事实基础的实数,高斯却未置一词。

在1849年的一篇论文中,高斯更加随心所欲地使用复数,因为他认为人们已经对复数很熟悉了,对此我们在以后还将提到。但是情况并不完全如此,复变量的复函数理论主要由柯西于19世纪的头30年发展起来并应用于流体力学,在这之后很长一段时间剑桥大学的教授们仍顽固反对有争

使用。

19世纪上半期,人们又注意到代数也缺乏逻辑基础,主要问题是字母被用来表示各类数并参与运算,好像它们具有正整数的所有令人熟知且易于理解的性质,而且任何数——负数、无理数,复数被字母代替时,运算结果都是正确的。然而,因为此类数还未被真正理解,它们的性质也是缺乏逻辑基础的,所以使用字母代替更不合理,但似乎字母代数表达式有其自身的逻辑性,否则无法理解它的正确性和有效性,因此在18世纪30年代数学家们着手处理用文字或符号表达式进行运算的正确性问题。

首先考虑这个问题的是剑桥大学的数学教授皮科克,他区分了算术代数和符号代数,前者是处理表示正整数的符号,所以基础牢固,它只允许运算结果为正整数;而后者,皮科克以为它采取了算术代数规则,但是除去了只适用正整数的限制,在算术代数中推出的全部结果与符号代数中的结果都一样,但算术代数中的表达式在形式上是普遍的,在数值上是特殊的;而符号代数中的表达式,从数值到形式上都是普遍的。例如,在算术代数中,式子ma+na=(m+n)a,当m,n,a都为正整数时成立,因而在符号代数中,对于所有的m,n,a均成立。与此类似,(a+b)n的二项展开式中的n在代数计算中须为正整数,如果用不带末项的一般形式来表示,就对所有n均成立。皮科克的论证被称为等价型的永恒性原理,是他在1833年给皇家科学促进会题为《关于分析的某些分支的新近成就和理性的报告》中提出的,他武断地肯定:

无论什么代数的型,当符号在形式上是普遍的,而在数值(正整数)上是特殊的时候是等价的,则当符号在值上和形式上都是普遍的时候同样是等价的。

皮科克特地用此原理去证明复数运算是合理的,他试图依靠“当符号在形式上是普遍的时候”来维护自己的观点。这样,人们就不能陈述仅属于0和1的性质,因为这些数具有特殊的性质。皮科克在他的《代数论著》(1842—1845年)第二版中从公理推出了他的原理。他明确讲到代数如同几何也是一门推理科学,因此代数的步骤必须根据法则条文的完全陈述,这些法则支配着步骤中用到的运算。至少对于代数这门演绎科学而言,运算的符号除了法则给予它的意义之外没有其他意义。例如,加法不过是表示服从代数中加法法则的任一步骤。他的法则是,例如加法和乘法的结合律和交换律,以及如ac=bc而c≠0,则a=b这个法则。这里,从所采用的公理证明了型的永恒性原理。

在19世纪的大部分期间,由皮科克肯定的代数观点被接受了。格雷戈里,笛·摩根和汉克尔在支持它的同时,在小的方面有所改进。

这条原理基本上是主观推想的,它借助未必成立的假定来论证为什么不同类型数与整数具有相同的性质。虽然它的成立缺乏严密的逻辑性,但在实践运用上是正确的,所以被人们接受了。显然,皮科克、格雷戈里和笛·摩根认为他们创立了一门源于代数学却独立于实数和复数性质的科学。显然,将一些单凭经验的方法称为原理无助于改善其逻辑状况,正如贝克莱所说的:“根深蒂固的偏见也常常会演变为原理,这些性质一旦获得了原理所具有的力量和声望,不仅它自身,而且由它推出的任何结论,都会无需验证而被人们接受。”

型的永恒性原理将代数看作是一门由符号和关于符号组合定律组成的学科,这种基础不仅含糊不清,而且不能变通。它极力主张算术代数和一般算术的严格对等性,照此办理将会破坏代数的普遍性,他们似乎从未认识到一个公式对于符号的一种解释是正确的,对于另一种可能就是错误的。碰巧,这条原理由于四元数的产生而失效,因为这些数(现在称之为超数)不具备乘法的交换性(见第四章),从而代表超数的字母也不具有实数、复数的所有性质,这样,这条原理就不成立了。代数不是只有一种,而是有很多种;只有证明了字母所表示的数具有字母被赋予的所有性质,建立在实数和复数基础上的代数才能成立。上述两个问题,皮科克和他的支持者都没有认识到,而引入四元数后不久就显而易见了。

除了代数,19世纪早期的分析也处于逻辑困境中。拉格朗日为微积分打下的基础(见第六章)并未得到所有数学家的认同,一些人退回到了贝克莱的立场,其余人则认为错误是相互抵偿的。卡诺就是后者之一(他也是法国大革命时期的军队领袖),在他的著作《关于无穷分析的形而上学的思考》中,他的形而上学“解释”错误的确相互抵偿。经过对当时各种解决微积分问题的方法的仔细推敲,卡诺得出结论:尽管现在的各种方法,包括达兰贝尔的极限概念的运用,实际上和古希腊的穷竭法都是等价的,但是无穷小的方法更为迅捷。卡诺对于微积分概念的澄清作出了一定的,但不是最主要的贡献。另外,他将牛顿莱布尼茨和达兰口尔的观点和希腊的穷竭法联系到一起时,作了错误的解释,因为在古希腊几何、代数学中找不出与导数有关的概念。

分析中的错误在19世纪继续发展,这方面的例子不胜枚举,但举一两个就足够了。所有分析的基础就是连续函数和函数导数的概念。直观上,连续函数可用一条不间断画出的连续曲线来表示(见图7.1)。而函数导数的几何意义就是曲线上任意一点P处切线的斜率。直观看来,一个连续函数应在任何一点都有导数存在,然而,一些19世纪早期的数学家都超然于直观证明之外,而尽可能地用逻辑方法来说明。

 

图7.1

 

图7.2

不幸的是,如图7.2所示,一个在A、B、C处有隅角的连续函数在这些点处没有导数存在。然而,1806年安培(Andre-MarieAmpère)“证明”了任何函数在所有的连续点上都有导数。其他类似的“证明”可在拉克鲁瓦的三卷本名著《微积分学教程》和几乎所有19世纪主要著作中找到。直到1875年,贝尔特朗(JosephL.F.Bertrand)才在一篇论文中“证明”了可微性。然而,所有这些“证明”都是错误的。其中一些数学家情有可原,因为在很长一段时期内函数的概念没有很好地建立起来,但是大约到了1830年,这方面的缺陷已得到了弥补。

连续性和可微性是分析的基本概念。从1650年至今,分析一直是人们研究的主要对象。而数学家们对这些概念的认识竟然如此模糊不清,对此你就不能不感到震惊。一个严重的错误在今天对一个学数学的大学生来说都是不可原谅的,然而犯错误的人却是当时的伟人——傅立叶、柯西、伽罗瓦勒让德、高斯,还有其他一些名声稍逊,但也成就斐然的数学家。

19世纪的教科书仍然随意使用可微、无穷小等意义不明,在既是零,又不是零这一点上前后定义不一致的术语,当时学生对微积分困惑不解,他们所能做的也只是遵循达兰贝尔的告诫:“坚持,你就会有信心。”罗素,1890—1894年曾就读于剑桥三一学院,他在《我的哲学发展》中写道:“那些教我无穷小分析的老师找不出有说服力的论据来证明微积分的基本概念,就只好说服我充满信心地去接受那些公认的诡辩。”

17、18、19世纪一直困挠数学家们的逻辑问题,在分析中表现得尤为严重,特别是在微积分和以微积分为基础的无穷级数、微分方程等领域。然而,在19世纪早期,几何又一次成为人们热衷的研究目标。欧氏几何被扩展了,几何学的一个新分支——射影几何①首先被庞斯莱(Jean-Victor Poncelet)正确地预见到了它的前景。虽然庞斯莱和其他人提出了许多理论,但从其早期历史来看,这些理论的证明要比提出它们困难得多。当时,主要是借助于17世纪笛卡尔和费马的工作成就,几何结论可用代数方法来证明,但是,19世纪初期的几何学家对此不屑一顾,他们认为代数方法和几何方法格格不入,完全相异。

为了用纯粹几何学方法“建立”结果,庞斯莱提出了连续性原理,在他的《论图形的射影性质》中他是这样说的:“如果一个图形从另一个图形经过连续变化得出,并且后者与前者一样的一般,那么可以马上断定,第一个图形的任何性质第二个图形也有。”怎样判定这两个图形都是一般的呢?他没有解释。

 

图7.3

 

图7.4

 

图7.5

为了“证明”此原理的正确性,他举出欧氏几何中图的相交弦的两段之积相等这条定理(如图7.3,ab=cd)并指出:当交点移到圆外时,会得到割线与其圆外段之积相等的定理(图7.4)。不需其他证据,连续性原理就可以保证这条定理的正确性。另外,当一条割线变成切线时,切线与其圆外段变得相等,它们的积仍等于另一条割线与其圆外段的积(ab=c2,见图7.5)。庞斯莱用来论证连续性原理的结论刚好是三个独立完美的定律,能够满足和说明他的原理。庞斯莱杜撰了“连续性原理”这个术语,并把此原理抬高成绝对的真理,在他的那本著作中大胆应用,“证明”了射影几何中的许多新定理。

这原理对庞斯莱来说其实不是新的。在广义的哲学意义下,可以追溯到莱布尼茨,他在解决与微积分有关的问题时就用到了这个原理(见第六章)。此后这个原理只是偶而提到,直到蒙日(Gas-Pard Monge)为了建立某些特殊类型的定理才复苏了它。他首先对一个图形的物理位置证明了一个一般的定理,然后声称这定理是普遍成立的,甚至该图形里的某些元素变成“虚”的时候也成立。例如,要证明关于直线与曲线的一个定理,他就在直线与曲线相交时证明,然后声称既使直线与曲线不相交,交点变成虚时,结论也成立。巴黎科学院的一些院士批评连续性原理,认为它只具有启发的意义,特别是柯西,他说:

这条定理严格说只是依靠将某一限定条件下成立的定理扩展到没有限定条件情况下时归纳出来的。用于二阶曲线时,它使人得到确切的结论,但是,其不具备普遍意义,因而不能随意用于几何学,甚至分析学中的各类问题,否则就会犯一些明显的错误。

但遗憾的是,柯西用来攻击这个原理的正确性的例子,却可以用别的方法证明完全为正确。

批评者指出,庞斯莱等人对这原理的信心其实是来源于它有代数上的依据。事实上,庞斯莱在俄国狱中的笔记表明他的确曾用代数学来检验过原理的可靠性。庞斯莱也承认其证明是建立在代数学基础之上的,但他坚持认为这原理并不依赖于这样一个证明。然而可以相当肯定的是,庞斯莱依靠了代数的方法去弄清事情的究竟,然后又以这原理为依据来肯定几何的结果。

在19世纪,尽管存在一些批评意见,连续性原理由于它直观易懂还是被人们接受并且作为一种证明方法得到广泛应用,尤其是几何学家,随心所欲地使用它。然而,从数学逻辑发展角度来看,连续性原理只不过是为了解决当时人们用纯推理方法不能解决的问题而提出的一个武断、偏颇的假定,提出这条原理是为了满足直观性和形象性的要求。

庞斯莱对连续性原理的主张和应用只是数学家们为了证明他们用正当手续不能证明的定理的一个例子,但是逻辑困境依然存在于几何学的每一处。我们知道(见第五章),主要是18世纪末、19世纪初非欧几何方面的研究工作,暴露了欧氏几何推理结构上的严重缺陷。然而,数学家们没有立即去弥补它,而是继续坚持它们的所谓绝对确定性。因为欧氏几何学定理的直观基础及实际应用提供了强有力的证据,甚至无人在意其缺陷。

对非欧几何来说,情况就不同了。19世纪早期,除了非欧几何的创始人——兰伯特、高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶之外,另外一些人也接受了非欧几何,他们以为自己创造了一门新的学科,尽管其逻辑基础不如欧氏几何那样牢靠。然而,特别是当高斯和黎曼在这方面所从事的工作为人们熟知后,不仅刚才提到的四人而且几乎他们所有的继承者在没有证明的情况下,都相信非欧几何是相容的,也就是说,其定理是彼此不矛盾的。他们都同意萨切利自以为得出矛盾的证法是错误的。

但是,非欧几何中的矛盾总有可能暴露出来。一旦如此,双曲几何中的平行公理假设就不成立,如萨切利所认为的那样,欧氏几何中的平行公理也就是欧氏几何中其他公理的推论。没有任何证据能够证明这种新几何的相容性和实用性,否则它至少会成为一个令人信服的论据,数学家们只能出于一种信念来接受前辈们认为是荒谬的结论。在非欧几何相容性问题上的疑问后来又持续了50年(见第八章)。

很明显,19世纪任何一门数学在逻辑上都是得不到保证的。实数系、代数学、欧氏几何,新出现的非欧几何和射影几何,它们要么逻辑不完善,要么根本就没有。分析,也就是微积分及其扩展,不仅在缺乏实数和代数逻辑基础的情况下随意使用,而且在导数,积分,无穷级数中,一些概念也急需澄清。如果说数学没有一样东西是建立在牢固基础上的,此话一点也不为过。

从数学本身来讲,许多数学家对证明的态度真是令人难以置信。在18世纪,分析陷入了明显的困境,以致使一些数学家放弃了这个领域的严密性。因而洛尔认为微积分只是一些精巧的谬误的集合,其他人则像吃不着葡萄的狐狸,极力嘲弄希腊人的严密性。克莱洛在《几何原理》中说道:

欧几里得自找麻烦地去证明什么两个相交的圆的圆心是不同的啦,什么一个被围于另一个三角形内的三角形,其各边之和小于外围三角形的各边之和啦,这是不足为怪的。这位几何学家必须去说服那些冥顽不化的诡辩论者,而这些人是以拒绝最明显的真理而自豪的;因此,像逻辑那样,几何必须依赖形式推理去反驳他们。

克莱洛又说道:“但是一切都倒了个个,所有那些涉及到常识且早已熟知的事情的推理,只能掩盖真理,使读者厌倦,在今天人们对它已不屑一顾了。”

朗思基(J.Hoёne-Wronski),一位伟大的计算方法专家,但他不关心数学的严密性,表达了18世纪和19世纪初的这种观点。他的一篇论文被巴黎科学院的一个委员会认为缺乏严密性,而朗思基回答说,这是“迂腐,一种对达到目的的方法偏爱的迂腐”。

拉克鲁瓦在三卷本《微积分教程》第二版序言中说,“希腊人所烦恼的这种琐碎的东西,我们不再需要了。”当时典型的态度是,为什么要自找麻烦,用深奥的推理去证明那些人们根本没有怀疑过的东西呢?或者用不太明显的东西去证明较为显然的东西呢?

甚至到了19世纪,雅可比(在他未完成的关于椭圆函数的著作中留有许多疑点)还说,“要达到像高斯那样的严密,我们没有时间。”一些人公然蔑视那种没必要的证明,大多数人并不关心问题的严密性。他们经常说的一句话是,传统阿基米得方法认为是严密的,而用现代方法则不是。这在希腊数学中所没有的微分学的工作中显得尤为突出。达兰贝尔1743年说“直到现在……人们总是热衷于扩大数学的范畴,却很少阐明其来源,注重向高层次发展,而很少考虑加固其基础。”这句话对整个18世纪和19世纪初的数学工作做了很好的注释。

到19世纪中期,对证明的考虑更少了,以至于一些数学家甚至不愿意费脑筋去证明他们原本就可以充分证明的东西。杰出的代数几何学家、矩阵代数的发明者凯莱发表了关于矩阵的一个定理,现在称为凯莱—哈密尔顿定理(一个矩阵就是一些数字的矩形排列,在方阵中每行每列都有n个数字)。他证明了他的定理对2×2阶矩阵是正确的,并在1858年的一篇论文中说:“我认为没有必要对一般n×n阶矩阵去费力证明这个定理。”

西尔维斯特(James  Joseph Sylvester),杰出的英国代数学家,曾在1876年至1884年期间任英国霍普金斯大学教授。上课时他总是说,“我还没有证明这个结果,但我能像肯定任何必然事物一样肯定它。”然后他用这个结果证明新的定理,但是他经常又在下一次课结束前承认他上节课所肯定的结果是错误的。1889年他证明了一个关于3×3阶矩阵的定理,但仅仅指出了对n×n阶矩阵证明此定理时必须考虑的几点。

考虑到欧几里得在处理几何和整数时的良好开端,数学这种不合逻辑的发展就提出了这样一个问题:为什么数学家们要如此徒劳无功地去使后来的发展——无理数、负数、复数、代数学、微积分及其扩展逻辑化?我们已经注意到(见第五章),就欧氏几何和整数而言,这些都是非常明显和直观易懂的,因此更容易发现基本原理或公理,从中又能得到其他性质,尽管欧氏几何的发展也存在一些缺陷。另一方面,无理数、负数、复数、字母运算和微积分概念却极其难以掌握。

还有更深一层的原因。数学大师们对数学的本质无意识地做了微小的改变,到1500年左右,数学概念成了经验的直接理想化或抽象化。那时,负数和无理数已经出现并被印度人和阿拉伯人所接受。然而,尽管他们的贡献得到人们的承认,但就证明而言,他们只满足于直觉和经验证明。而且当时复数、使用字母的广义代数,微分和积分的概念纷纷进入数学,这门学科由于人们大脑深处的概念而处于统治地位。特别是导数或瞬间变化率的概念,尽管速度这个物理现象有直观基础,但还远不是理性的产物,它在本质上完全不同于数学三角形。同样对希腊人谨慎避开的无穷大量和巧妙地防止其出现的无穷小量,以及负数、复数在理解时所做出的努力也是勉为其难的。这是因为数学家们没有认识到这些概念不是来自于直接经验,而是心智的创作。

换句话说,数学家们是在贡献概念而不是从现实世界中抽象出思想,究其成因,他们是将感性知识转变为理性知识。由于这些概念被证明越来越实用,数学家们起初还忸怩作态,后来就变得肆无忌惮了,久而久之,人们也就认为这是无可指责且理所当然的了。从1700年起,越来越多的从自然中提取和在人思想中产生的观念进入数学领域并几乎被毫不怀疑地接受,由此引起的不良后果终于促使数学家们不得不从现实世界之上去审视他们的这门学科。

因为他们没有认识到新概念特征的变化,他们也没有认识到他们所需要的是公理化发展的基础,而不是那些自明的真理。当然,新概念要比旧概念精致得多,而且就我们目前所了解的情况看,合适的公理基础并不容易建立。

那么,数学家们如何知道他们该往何处去呢?同时,考虑到他们的证明传统,他们怎么敢只用规则就能保证结论的可靠性呢?毫无疑问,解决物理问题就是他们的目标,一旦物理问题被数学公式化后,就可利用精湛的技巧,从而新的方法和结论就出现了。数学公式的物理意义引导着数学的步骤,也经常给数学步骤提供部分论据,这个过程在原理上同一个几何定理的论证没有什么差别。在证明几何定理时,对图形中一些显而易见的事实,尽管没有公理或定理支持它们,还是被利用了。

除了物理思维,在所有新的数学工作中,还有强烈的直觉作用,基本概念和方法总是在对结论合理的证明以前很久就被直觉捕捉到了。杰出的数学家,不管他们怎样恣意妄为,都有一种本能,即保护他们自己免遭灭顶之灾。伟大人物的直觉比凡人的推演论证更为可靠。

由于某些数学公式能抓住物理问题的本质,18世纪的数学家们特别热衷于公式。显然,对他们来讲公式是如此的富有吸引力,以至于他们认为仅通过用像微分和积分这样的形式化运算,从一个公式到另一个公式的推导就足以证明它的正确性了。符号的魔力泛滥,耗尽了他们的理性。18世纪被称为数学史上的英雄时代,因为这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下,勇于开拓并征服了众多的科学领域。

但是我们仍然心存疑问,尽管数学家们,特别是在18世纪知道微积分的概念不清而且证明不充分,他们却那么自信他们的结果是正确的。部分答案是由于有许多结果被经验和观测所证实,其中最突出的是天文学的一些预言(见第二章)。但是另一个有关的因素导致17和18世纪的人们相信他们的工作,那就是他们确信上帝已经数学化地设计了世界,而数学家们正在发现和揭示这种设计(见第二章)。尽管17世纪和18世纪的人们的发现是不完全的,但他们认为它是基本真理的一部分。他们正在展示上帝的杰作并将最终达到永恒真理的彼岸。这样一种信仰支撑着他们的精神和勇气,而丰硕的科学成果则是养育他们的心智和使他们能够不懈追求的精神食粮。

数学家们所发现的只是寻觅中的宝物的一部分,但却富含着更多宝物将被发现的启示。如果应用起来如此精确的数学规律却缺乏精确的数学证明的话,那么还需不需要诡辩了呢?由科学论据支持的宗教信仰代替了虚弱的或者根本不存在的逻辑力量,他们渴望维护上帝的真理,致使他们不断地建造没有牢固基础的空中楼阁。他们用成功来安抚良心,的确,成功是如此地令人陶醉,以致于人们在大多数时间里忘记了理论和严密性。偶尔向哲学和神秘教义的求助掩盖了一些困难,以便它们不再显现。从逻辑上讲,17世纪,18世纪及19世纪早期的工作肯定是粗糙不堪的,但也不乏独创性。为了贬抑这些工作的成就,其中的错误和不准确处被19世纪后期和20世纪的人们不公平地强调了。

17、18世纪的数学就像一个经营大宗业务、却由于管理不善而招致破产的大公司。当然,顾客——购买并利用数学商品的科学家们和债权人——那些毫不犹豫地向数学股票投资的大众,并不知道真正的财政状况。

所以,我们发现了极其荒谬的事情,在今天高度发展的数学的逻辑,当时却处于一种十分可怜的窘境。但数学在描述和预测自然方法上的成功给人的印象太深刻了,所以不仅仅是希腊人,所有18世纪的知识分子都公然支持宇宙是按数学设计的,且把数学作为人类理性的壮丽庄严的成果而极力颂扬。正如约瑟夫·艾迪生在《赞美诗》中对天体的赞美一样(见第三章),人们都沉浸在收获颇丰的喜悦之中。

现在我们回溯一下这种对数学推理的赞颂似乎令人难以置信,确切地讲,它们只是用到了推理的细枝末节。但特别在18世纪,当关于复数的意义和性质、负数和复数的对数,微积分的基础、级数的求和以及其他我们还没有描述的问题的热烈论战充斥文献时,我们称其为“战国”时代是比较合适的。到1800年,较之于逻辑合理性,数学家们更热衷于结果的确定性。从证明的观点来看,有结果,就能产生信念,我们将很快看到,正是19世纪后期的工作使其无愧于理性时代这个名称(见第八章)。

当大多数数学家满足于寻求新事物而忽视几何时,一些领袖人物醒悟到了数学的逻辑困境,杰出的挪威天才阿贝尔强调指出,分析正濒临绝境。在1826年给汉森教授的一封信中,他抱怨道:

人们可以在分析中轻易找到大量模糊不清的东西,你也许很奇怪会有那么多人去研究分析,那是因为它完全没有计划性、系统性。最糟糕的是它从来没有使人信服过。即使在高等分析中,也少有用逻辑上站得住脚的方式证明过的定理。人们可以到处发现这种从特殊到一般而得出结论的蹩脚方式,罕见的是这种方式却很少得出矛盾。

阿贝尔在1826年1月给他以前的老师霍姆伯的信中特别提到了发散级数:

发散级数是魔鬼的发明,把不管什么样的证明都建立在发散级数基础上是一种耻辱。利用发散级数人们想要什么结论就可以得到什么结论,而这也是为什么发散级数已经产生了如此多的谬论和悖论的原因。……对所有这一切我变得异常关心,因为除几何级数外,在全部数学中曾被严格地确定出和的单个无穷级数是不存在的。换句话说,数学中最重要的问题也就是那些基础最不牢固的事情,尽管这种级数令人非常惊奇,但它们中的大多数都是正确的,我正试图为这种正确性寻找理由,因为这是一件饶有趣味的事情。

就像对一般人来说,借酒消愁并不能真的化解烦恼一样,数学在物理学中取得的成就也不能使某些数学家漠视其逻辑困境,许多大胆的探索者坚信他们所发现的是上帝的设计,但是由于18世纪后期这种信念被人们所抛弃,所以他们从中获得的安慰也变得毫无价值(见第四章)。失去了信念的支持,他们不得不重新检验自己的工作,可是他们面对的是模糊不清、证据不足、自相矛盾,甚至是完全的是非混淆。他们认识到数学并不像过去所认为的是推理的典范,不过是用直觉,几何图形,特别是形的永恒性原理之类的原理和求助于被证明可以接受的形而上学来取代推理而已。

建立逻辑结构的理想是由古希腊人明确提出来的,为数不多的几个在算术、代数和分析方向上为之努力的数学家都被这样一种信念所激励着,即数学家们至少已经在某一重要领域——欧几里得几何上做出了成绩。他们认为既然别人能够丈量奥林匹克山,那么他们也可以做到。他们并没预见到,为所有现存数学提供严格基础的任务,远比1850年时数学家们所想象的要困难得多,他们更不会预见到另外一些麻烦。

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① 我们将在下一章中看到哈密尔顿对由复数所提出来的问题的态度。——原注
①  射影几何主要研究一个图形从一个位置投影到另一个位置时,其性质保持不变的问题。例如,一个二维实景通过照相机镜头投影到胶片上。——原注