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第一节 对世界观的影响

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第一节 对世界观的影响

几乎每位数学家都不只停留在数学,他们都通过数学来看世界,有时也有反过来的情形,由于他们对世界的看法而推动了或影响了他的数学工作.从毕达哥拉斯直到近代的伽利略、笛卡儿、开普勒这样一些数学家(有的兼为天文学家、哲学家)一直认为世界是数的体现,世界是按数学公式运行的,宇宙的书本是用数学写成的.数与世界密不可分.

直到19世纪、20世纪的一批数学家仍然继承着毕达哥拉斯、柏拉图的理念,如德国的克罗内克、法国的庞加莱.而且,像庞加莱、罗素这样一些数学家都如古代到近代的数学家那样兼为哲学家.数学依然是他们观察世界的不可缺少的武器,甚至是他们世界观的基本成分.

数学为什么会具有这样的作用呢?数学家为什么会具有这样的特点呢?

庞加莱说过这样一段话:“没有数学这门语言,事物间大多数密切的类似关系将永远不会被我们发现;我们也无从发现世界内部的和谐,而这种和谐正是惟一真正的客观现实……这种和谐是惟一的客观现实,是我们所能达到的唯一真理,当我讲世界万物之和谐是所有美丽之源时,我是指我们应该付出多大代价去推动这个缓慢的、困难的过程,以使得我们一点点地、越来越好地理解这个和谐.”这里有一个问题,是我们先由数学去发现世界的和谐,去得知世界是和谐的,还是先知道世界是和谐的而后由数学去发现它或者去印证它?在后一情况下,世界观优先于数学,在前一种情况下,数学优先于世界观,但无论是哪一种情形,数学对世界观都起了作用.

从逻辑上说,数学确实是最讲究普遍联系的.数学的最大特征之一是抽象,虽然别的学科也必有一定的抽象,但远不如数学的抽象.这一最大特点事实上导致了它更广泛地存在于众多事物的结果.

事物与事物之间的差异反映在个性上、内涵上.个性“抽”去得越多,越只在内涵的共同处考虑,越能发现事物与事物之间的共同点.因而在更高的程度上反映共性.内涵越少,外延越宽,这是基本的逻辑结论.

我们早知道几何作图中有个黄金分割,有个0.618,除了我们已知的在人体中存在的0.618,在植物中存在的0.618,在动物繁殖中存在的0.618这样一些客观性的事实外,还发现了另一个事实,即0.618还提供了一个最优选择法.这一事实的发现出在20世纪50年代.作为主观性的事实,人们可以在建筑物中、在绘画中、在乐曲中看到(或听到)0.618.

优选法中的黄金分割法,其操作过程是十分简单的.不妨设所考虑的试验区间为[0,1],我们首先取两个试验点1-0.618=0.382和0.618,对这两点进行试验,比较优劣,若在0.382点优,则在[0,0.618]这个区间继续做试验;若在点0.618优而在0.382劣,则在[0.382,1]继续做试验,亦即按“去劣留优”的原则做下一步试验.例如,要做一项下料试验,下料的基本范围是一千克以内,以克计算,那么试验区间是[0,1000].那么,第一步便做两个下料试验,一是下料382克,一是下料618克,若下料382克优于618克,则第二步是在[0,618]继续做试验;否则便在[382,1000]上继续做实验.

第一步做后留下的区间长度为0.618;第二步就在这个长度为0.618的区间上做试验,例如,若是在[0,0.618]上试验,那么两试验点取在0.382×0.618和0.618×0.618,然后又按去劣留优的原则,留下一个长度为0.6182的区间继续做第三次试验,第三次之后留下来的区间长则为0.6183;……

由于0.618<1,所以随着试验次数的增加,试验区间越来越小,且趋于0.这样,只要试验的次数足够多,就可以充分接近最优点.更重要的是,如果把最优点记为x,xn是第n次黄金分割试验后所得的点,又如果x′n是其他任一选优方法n次试验后所得之点,则

|xn-x|≤|x′n-x|,

亦即,在同样试验次数的条件下,黄金分割法的试验点最接近最优点(在有的情况下,它就是最优点).

这个例子也告诉我们,最美丽的东西与最有用的东西是有联系的,主观与客观是相互起作用的.从公元前到20世纪的这个0.618,把自然界各个方面类似的现象联系起来,把主观和客观的若干方面也联系起来.

辩证唯物主义是讲联系、讲统一的,但有些论著把“本质联系”的“本质”强调过头了.事实上,并不可能事先就确定何种联系是本质的,何种又不是,一般都是从联系中去发现本质,在联系中发现意想不到的本质相关.这种对“本质”的过分强调,恰是用形而上学的方法去妨碍了辩证法,甚至有悖于唯物论的认识论.

数学中的同构、同胚、同调、同伦等一系列观念和方法把许多貌似不同的东西联系起来,通过这些联系发现了许多本质的内容.对应是一个极重要的观念,通过对应建立联系,通过联系,由简单事物的结构去认识复杂事物的结构,从而看到了更多层次、更深入的联系.不是先知本质而后去联系,而是先去联系,通过联系而进一步认识本质.

辩证唯物主义的世界观不一成不变地看问题,它特别看重事物的发展变化.数学在有了变数、有了微积分之后,更多地需要辩证逻辑的思考.微积分强有力地表现变化;同时,几乎任何变动的过程都需要微积分来表现或刻画;微积分更深刻地反映了世界,同时,学习微积分也就帮助我们更深入地认识世界.与微积分相关的许多概念,例如极限概念,例如各种不同的实数理论,对它们的理解虽也要靠一般的形式逻辑,但仅靠形式逻辑就很难准确而深刻地理解了.

数学虽然研究变化,但完整地说,应是研究变化中的不变,甚至运用变化来研究不变,在变化中发现不变,从而更好地把握变化,也把握相对的静止.例如,在代数中就有“恒等变换”,这4个字就包含辩证的思想与过程,“变换”,要变,“恒等”,却是不变;在几何中就有变换群(几何中的代数工具),而研究的是变换下的不变量或不变式;在微积分及其相关学科中,也要通过各种变换来研究不变的规律和数量关系,有阿贝尔变换、欧拉变换、拉普拉斯变换、傅里叶变换、……数学中确实是充满辩证法的,连初等数学也是如此.这不只是方法论,即使是方法问题,其意义之重大已使之与世界观的核心部分的关系越来越密切,与对世界本身的看法紧密相关.

唯物论的观点已经被一些有意无意的观念曲解了或使之走样了.在我们的教育中和现实生活中,有两种极端,一种极端是认为认识必定来自于物质世界而且必定直接来源于物质世界;另一个极端则表现为尚无一定实践基础就要求人们解决思想问题,并认为只要思想认识问题解决了一切都会迎刃而解,所谓“首先解决认识问题”、所谓‘思想领先”、“认识先行”的一套做法,都是这种极端的表现.

数学科学的事实与发展排除了这两种极端.

经典的数学确实直接研究数和形,不仅最初直接起源于丈量、测地、计数等实际生活,而且,今天学生学习数学之最初也必定要与其生活经验联系起来,然后再进一步展开;不仅数学产生之最初与人类物质生活直接相关,而且,数学发展至今,还不断地从现实生活中吸取营养,找到课题.当有人说一个国家的发展水平可以用这个国家所消耗的数学来衡量的时候,这从另一角度反映了数学与现实生活的联系.

然而,数学有另一面,这一面是用机械唯物主义无法理解的.数学在其发展进程中的某些阶段常表现出纯理性的特点.在数学的主要分支都有极具典型意义的例子.在几何中,公理体系本身的讨论导致了新几何学的发现;多少带有理性色彩的尺规限定,导致了许多新的数学发现.在代数中,方程根的有限表达形式的探讨,导致了新的代数学分支的发现.代数促进几何的发展,几何推动代数的发展,以及同样的现象在其他数学分支之间的存在,都证明黑格尔所说而为列宁所赞赏的“自己运动”的意义.

数学在它运动的某个阶段走在实际生活的前面的众多事实,也只有辩证的唯物主义才能够理解.当来源于人类实际生活的数学更深刻地反映了物质世界的时候,在数学自己的进一步运动和前进中就极可能脱离原有的形态而走得更远,而后它很可能指导了人们的实际活动并又为实际活动所证实,证实它不仅走得远,而且走得对.

海王星的发现是由数学事先预见到的,这是数学理性的一大胜利.辩证的唯物主义能十分圆满地理解这种现象.首先,这种预见来源于实际的观察;其次,这种预见又在其后的天文观测中被证实.两句话都是十分重要的:没有观察就不会有随后的数学计算和推导;另一方面,没有数学的理论和预见,就不会有随后自觉的、定向的天文观测.

1781年,英国天文学家发现了天王星,并发现天王星的运行有些“失常”,它总是与根据牛顿万有引力定律计算的结果不符.这种“失常”就引起了许多猜测.是由于观测和计算不准确的缘故吗?是由于牛顿万有引力定律本身有问题吗?是在天王星运行轨道之外还有一颗尚未被发现的行星在“干扰”它而使之出现“失常”吗?这种现象在天文学上叫做“摄动”.按照哥白尼、牛顿的见解,一颗行星在绕太阳运行时被太阳所吸引,其运行轨道应是不变的.但实际上有别的行星对它也有一定的影响,因而使之产生“偏离”,或曰“失常”,实则皆为“摄动”.

1842年,剑桥大学学生亚当斯按照“尚有一颗未被发现的行星”的估计去工作.根据万有引力定律,可以从已知行星的参数去计算对另一行星运动轨道的摄动.现在的问题是个逆问题:需要从已知行星所受到的摄动去计算另一颗使之受到摄动的行星的参数.解决这个问题所需要进行的数学计算是十分复杂的,未知因素有十多种.但亚当斯努力工作,进行了大量的计算.据观测,已知的行星大致服从统一的规律,如轨道形状多接近于圆形,前后行星与太阳的距离成两倍的关系.亚当斯先假定未知行星的轨道是圆形的,与太阳的距离为天王星的两倍,并展开计算.结果,得到的数据与观测的数据出入较大.亚当斯修订了假设,把未知行星的轨道设想为椭圆形,再度进行计算,结果误差有所减小.经过反复修正,逐步逼近准确结果.1845年10月21日,亚当斯把自己的研究结果交给格林威治天文台台长艾里,艾里因看不起这样的“小人物”而未予理睬.巴黎天文台的另一青年勒维烈做了与亚当斯同样的工作,并把他的研究结果寄给了柏林天文台的观察人员加勒,并在信中写道:“请你把望远镜对准黄道上的宝瓶星座,即径度326度的地方,那么你就将在这个地方的一度的范围内,见到一颗九等行星.”加勒在接到信的当天(1846年9月23日)或勒维烈发信后的第五天晚上就进行观测,仅仅花了半个小时,果然发现了这颗未知的小星.加勒又连续作了观测,进一步证实了亚当斯和勒维烈根据数学和力学的理论所作的计算是准确的,他们俩人计算的位置相差不到一度.这颗星其后被称为海王星.

勒维烈根据天王星运行的“不轨”,依据万有引力定律进行数学计算,预见到了另一颗行星的存在,最终通过加勒的实际观测得以证实.后来,勒维烈又发现水星的运行也有“不轨”,这时问题不是三个,而是集中在一个问题上了:可能还有另一颗未知的行星在“摄动”.然而,这一次不同了,实际的观测之中一直未发现这颗“未知的行星”.50多年之后,直到有了爱因斯坦的相对论,问题才得到解决.原来,水星在九大行星中最靠近太阳,它与太阳的距离只有地球与太阳距离的三分之一强;而万有引力定律只是近似的,越靠近太阳,准确性越低,因此才出现了水星运行的“不轨”.同样,由实际观察引起的数学工作,其预见却得不到实际观测的证实,而这一现象又为另一理论得到解释.

由实践到理论的认识,再由认识回到实践中(检验的结果是两种),这一过程有时比较短,有时比较长.例如,从对天王星“不轨”的实际了解到由理论的计算获得认识,最后又由实际的天文观测证实,前后经历了60多年.这就是一个比较长的过程.当这一过程比较长的时候,人们只从过程的某一个片段来看的可能就比较大;而当从不同的片段去看的时候,就极有可能得到十分不同的认识论判断.

如果只从数学的计算到实际的天文观测这一片段看,就容易偏向于理性主义方面;如果只从实际观察到引出由数学计算作出判断的片段来看,就容易偏向于依赖直感的直接反映论方面.后者忽视理论的能动作用,前者忽视了认识的本源.

涉及到几何的有关过程更长.没有人怀疑几何产生之最初,其源头在人们实际生活中对各种形状的思考,即使当欧几里得把它整理得有条有理,以致它以极其庄严的外貌再现的时候,人们也不会立即忘记几何的源头.可是,当平行公理独立性问题持续了两千多年的讨论,以至于由此而产生了新几何学的时候,当用不同的乃至经验所难以达到的平行公理来替代经典的平行公理而形成不同的几何学的时候,关于“数学是自由创造物”的观念的出现也就比较容易了.这些新的几何学的强大威力又经过了几十年才被数学以外的事实所说明.对如此漫长发展过程的任何一个片段的过分强调都更容易给数学以神秘的色彩,但是,全部的数学事实还是能使我们获得完整的世界观和科学的认识论,尽管我们仍然可以用神奇、奥妙一类的词来形容数学活动及其成就.数学家们对自由的充分感受可能来源于他们并没有充分感觉到的认识能动性及其作用之巨大,另一方面,他们的数学活动客观所受的限制甚至比他们感受到的要多.数学曾经是引起观念冲突的学科,那多半与世界观有联系,而在现今的数学活动中,在其正确性的判断上,可能是争议最少的学科,这其中的原由之一是数学自身有对自身更明确的限制,这些限制容易在强烈的自由感中被忽略.

世界观是由个人的各种经历决定的,世界观的形成并不先于各种学科知识的学习,它们是相互影响的.在我们的实际生活中,常常较多地碰到要求用正确的世界观去指导学习的情形,实际上,没有广泛而深入的学习并不会有正确的世界观.仅仅是弄懂一些数学定理和公式还不够,还需要有宏观、微观的思索,需要有对历史和方法的分析.所以,我们在一般情况下只能说数学的学习为树立正确的世界观提供了一些积极的影响因子,提供了更大的可能性.