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笛卡尔集

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笛卡尔集是集合的一种,假设`A`和`B`都是集合,`A`和`B`的笛卡尔积用`A×B`来表示,是所有有序偶`(a,b)`的集合,其中`a`属于`A,b`属于`B`.

`A × B=\{(a,b)|a属于A且b属于 B \}` ,则`A×B`所形成的集合就叫笛卡尔集.

设`A、B`是两个非空集合,任给 `x∈A,y∈B`,将它们组成一个有序对`(x,y)`,把这种有序对作为新的元素,这些元素的全体组成一个新的集合,称为集合A与集合B的笛卡儿乘积集合,记作`A×B`.即:

`A×B=\{(x,y)|x∈A且y∈B \}`

我们有时也称`A×B`是`A`与`B`的直积.

当`A≠B`时,`A×B≠B×A`

例 `A=\{1,2\},B=\{0,1\}`

`A×B=\{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)\}`,

`B×A=\{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)\}`,

然,`A×B≠B×A`.

当然,在笛卡儿乘积集合A×B中的A与B可以是任意两个很不相同的集合.

设`R=(-∞,+∞)`表示全体实数组成的集合,则`R×R=\{(x,y)|x∈R且y∈R\}`就是我们所熟悉的平面笛卡儿坐标系.常记为`R`,即`R×R=R`.

`R×R×R=\{(x,y,z)|x∈R,y∈R,z∈R\}`就是我们后面要讲到的空间笛卡儿坐标系.

`R×R×…×R=\{(x_1,x_2,…,x_n)|x_i∈R i=1,2,…n\}`.