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李特尔伍德

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李特尔伍德

李旭辉

(华东师范大学)

李特尔伍德,J.E.(Littlewood,John Edensor)1885年6月9日生于英国罗切斯特;1977年9月6日卒于剑桥.数学.

李特尔伍德是爱德华·桑顿·李特尔伍德(Edward Thorn-to n Littlewood)和西尔维娅·莫德(Sylvia Maud)的长子.E.T.李特尔伍德曾获1882年数学荣誉学位考试一等及格者的第9名,后来受聘担任南非维恩堡一所新建中学的校长,全家于1892年移居到那里.

李特尔伍德在依山傍海、气候宜人的环境里度过了愉快的童年.他先在开普敦大学念书,1900年转入英格兰的圣保罗学校.该校采取大学式的教学体制,鼓励学生们独立思考、相互探讨.三年中,李特尔伍德获得了代数、几何知识及自立能力和良好的判断力.1902年12月,他通过剑桥大学三一学院的资格考试,次年10月正式入学.

前两年,他先后学习了立体几何、流体动力学、分析学和解析函数论等课程.G.H.哈代(Hardy)曾任他的分析学课的助教.后两年他主修特殊函数、保形表示及微分几何,还带着浓厚的兴趣参加了A.N.怀特海(Whitehead)关于几何基础与数学基础的讲习班.

1907年10月,李特尔伍德从剑桥毕业,来到曼彻斯特大学任理查德逊(Richardson)讲师.繁重而乏味的教学工作占去了他大部分的时间,促使他于1910年重返三一学院,接替怀特海的职务.在这里,他发现了许多感兴趣的新问题,并有充足的时间进行探索.1911年1月,他证明了级数论中阿贝尔定理的逆定理,感到这“标志着我的判断力和鉴赏力达到了相当可靠的程度.我受教育的时期结束了.不久,我便开始了与哈代长达35年的合作.”

两人早期的合作成果是极为丰富的,除涉及丢番图逼近及其对函数论的应用外,还系统处理了级数的可和性,对一些特殊的级数讨论了陶伯(Tauber)型定理.这其中的大部分工作是1914—1918年李特尔伍德在皇家炮兵部队服役时完成的.在此期间,李特尔伍德还发现了解决弹道计算问题的一些新方法.

1920年,哈代离开剑桥去了牛津,直到1931年才重新回到剑桥.这十年间,两人始终保持着密切的联系,围绕整数分拆和傅里叶级数的收敛性与可和性发表了大量著作.李特尔伍德的独立工作集中于复函理论,还指导了大批研究生.他在剑桥主要讲授实与复分析理论,后来又参照怀特海和B.A.W.罗素(Russell)所建立的一般理论,在自己的演讲中增加了集合论基础的内容,包括基数、序数、乘法公理和良序级数.这些都收入他在1926年出版的《实函数论》(The theory of real function)一书中.

1928年,李特尔伍德被推举为首位罗斯·鲍尔(Rouse Ball)数学教授,这样他就免去了教学工作,可以自由选择课题进行演讲.这时,他已成为最有威望的分析学家之一.在30—40年代,他与哈代研究了序列重排、极大定理和不等式,同R.E.A.C.佩利(Paley)系统探讨了傅里叶级数和幂级数.出于战争的需要,他还研究了无线电工程中所需的非线性微分方程的性质.通过各种讨论班,他为许多年轻数学人才指明了方向.

1950年,65岁的李特尔伍德到了法定退休年龄,成为退休教授.他自愿为学院进行了4年有关非线性微分方程和函数论的演讲.1957年,多年折磨他的神经衰弱得以痊愈,这使他重振信心,在后来的10年中接受了来自美国的许多邀请.应L.C.杨(Young)和A.济格蒙德(Zygmund)的盛情之邀,他先后到过威斯康星大学的数学研究中心和芝加哥大学,他还三次去加利福尼亚大学伯克利分校任访问教授.

晚年,他主持过许多报告会、讲习班和讨论,主题是微分方程和函数论.他的论著除涉及微分方程外,另有许多显示了他对天体力学和概率分析的兴趣.

每年从圣诞节到3月中旬,李特尔伍德都要去瑞士滑雪.年老后,他无法远足,但仍坚持每天在校园中散步.87岁时,他还能不知疲倦地长时间工作,为出版物撰写文章,帮助数学家解决他们寄来的问题.

1975年6月9日,是李特尔伍德的90大寿,数学与应用学院同伦敦数学会联合举办了专题讨论会,以示庆贺.1977年8月,他在睡眠时从床上落地,直到次日凌晨才苏醒,被送入医院护疗.9月6日,李特尔伍德猝然与世长辞,享年92岁.他终生未婚.

李特尔伍德一生获得过大量荣誉,其中主要有:皇家学会会员(1916年);皇室奖章(1929年),德·摩根(De Morgen)奖章(1938年)和西尔维斯特(Sylvester)奖章(1943年);巴黎科学院院士(1957年11月);伦敦数学会会长(1941—1943年).

1982年,由伦敦数学会编辑、牛津大学出版社出版了两卷的《J.E.李特尔伍德文集》(Collected papers of J.E.Little-wood),其中包括他的数学论文91篇,杂文8篇.他与哈代合作撰写的100篇论文则已收录于1966年出版的《G.H.哈代文集》(Collected papers of G.H.Hardy)中.

1.函数论

李特尔伍德在经典复分析领域做了大量工作.1907年他最初涉猎数学时,函数论的中心问题是特殊函数(如Zeta函数和椭圆函数)的性质及其在数论等学科中的应用;而另一方面,J.阿达玛(Hadamard)、E.L.林德洛夫(Lindelf)等人又从函数论本身的需要出发,开始研究各类一般的函数.这门学科正从广义的应用学科转向纯粹数学.李特尔伍德早期的工作恰好处于这两者的分界线上.在第一篇论文“关于零阶整函数的渐近逼近”(Onthe asymptotic approximation to integral functions of zero or-der)中他设f(z)为整函数,

 

将m(r)和M(r)视为f的k阶函数,其中k由

 

他证明,若k=0,则m(r)>M(r)1-ε(r→∞)

这是当时零阶整函数问题的一个最新结果,使用比较初等的方法完成了林德洛夫的残数分析法所不能解决的问题.在提交伦敦数学会审议时,曾受到一些专家的怀疑,幸由哈代保荐才得以通过,发表在1907年的“伦敦数学会会议录”(Proceedings of Lon-don Mathematical Society)第5卷上.

第二年,他接着证明存在一般常数C(k)(≥-2k),使

m(r)>M(r)c(k)-ε.

这一不等式吸引着后来的数学家做了大量改进工作.同时,李特尔伍德开始将注意力集中于满足特殊条件的各类整函数,寻找零点渐近公式与系数之间的关系,这为后来Zeta函数的研究奠定了基础.

在1925年的“关于函数论中的不等式”(On inequalities inthe theory of functions)一文中,李特尔伍德首先推进了从属关系这一新概念.他证明,在所有于|z|<1内正则的函数f(z)=a0+a1z+…(a0给定,f(z)在给定区域D内取值)中,在均值

 

意义下的极大函数就是将单位圆映到D的通用覆盖面上的函数F(z).他还就斯哥特基(Schottky)函数类讨论了F(z)的性质.

文中另一个重要结果是关于单叶函数系数绝对值的阶,设上面定义的函数f(z)是单叶的,a0=0,a1=1,李特尔伍德把当时的最佳估计

 

改进为

 

这是对比勃巴赫(Bieberbach)猜想的一个重大贡献.

次调和函数是F.里斯(Riesz)在1926年引入的一类具有普遍性的函数:u(z)=u(x,y)是次调和的,若它上半连续并对任意小的r满足

 

李特尔伍德在1927年给出了等价的定义:若上式对定义域中的每个z0及某些任意小的r成立,则u亦为次调和的.

第二年,他又证明一个重要的定理:u(z)在|z|<1内次调和,则r→1时,

有限.对于u(z)=log|f(z)|的角极限问题,李特尔伍德亦给出一些有用的定理.这些有关次调和函数的结果后来由J.L.杜布(Doob)、R.L.惠登(Wheedon)等人从各个角度给予了推广.

在1931年函数论授课讲义的基础上,李特尔伍德补充了次调和函数和从属关系的内容,于1944年2月写成《函数论教程》(Le-ctures on the theory of functions)一书,由牛津大学出版社出版.

2.数论

李特尔伍德在数论方面的工作绝大多数是与哈代共同完成的,集中于1911—1930年的20年间.

(1)丢番图逼近 在1912年剑桥召开的第五次国际数学家大会上,哈代和李特尔伍德宣读了有关丢番图逼近的一系列新结果,此后又陆续写出13篇论文.他们的突出贡献在于对一些重要的特殊情形给予了精确

若这些系数增长的速度很快,则Sn(θ)/N以极慢的速度趋于0;

他们还把这种三角和的估计应用于傅里叶级数的收敛、Zeta函数和直角三角形格点问题的误差估计.例如,作为对伯恩斯坦(Bernstein)

的完善,他们证明存在常数C>0,对所有的N和t,有

 

随之可得,级数

 

李特尔伍德还曾提出过这样一个问题:对所有实数对θ,φ,是否
映出连分数方法尚未在联立逼近问题中得到很好的推广,被称为“李特尔伍德的丢番图逼近问题”.

(2)Zeta函数 对于复变量的Zeta函数

 

一个重要的问题是其零点的分布问题.B.黎曼(Riemann)曾猜想
同研究Zeta函数.

1921年,两人给出了ζ(s)的渐近估计式.设ζ(s)=φ(s)ζ(1-s),s=σ+it,|t|=2πxy,则对|σ|≤h,x>k,y>k(h,k为正常数)一致地有

 

由此得到均值估计式

 

李特尔伍德证明,当s的虚部很大时,±log|ζ(s)|与argζ(s)在s点的取值亦很大,不论在0<σ<1内还是在半平面σ≥1上.例如他找到正常数b,使

 

而若黎曼猜想成立,则有

 

记N(T)为矩形区域0<σ<1,0<t≤T内ζ(s)的零点曼猜想成立的前提下,把余项改进为O(logT/log log T),它意味着各个零点之间的距离总不会超过c/log log T,这是迄今为止最佳的结果.

Zeta函数还与素数分布问题密切相关.早在本世纪初,李特尔伍德便独立地发现,若素数的分布充分正则,那么黎曼猜想成立;反之,黎曼猜想隐含着素数的均匀分布.

1914年,他给出素数定理的余项估计.记π(x)为不超过x的素

 

李特尔伍德则证明不论黎曼猜想正确与否,都有

 

成立.这是一项比较领先的结果.

尽管经验表明有不等式π(x)<Lix成立,李特尔伍德却说明差分π(x)-Lix无穷次地改变符号:对某些任意大的x,π(x)>Lix+

(Schmidt)等人的结果相比,达到了更高的精确程度.

(3)堆垒数论 1920到1928年,哈代和李特尔伍德发表了题为“整数分拆的一些问题”(Some problems of Partitio Nume-rorum)的5篇系列文章,对华林(Waring)问题进行了深入探讨.他们所得到的全部结论均以广义黎曼猜想(用狄利克雷L函数代替Zeta函数)为前提,使用的是著名的圆法.对于给定的自然数k,要求自然数S(k),使S≥S

突破,后经H.外尔(Weyl)和华罗庚等人给予了重大发展.

由此出发,哈代和李特尔伍德还给出了哥德巴赫(Goldbach)问题和孪生素数问题的一些渐近表示式.

3.实分析

(1)李特尔伍德-佩利理论 李特尔伍德与佩利以“关于傅里叶级数和幂级数的定理”为题,合写过3篇文章,首创了Lp(p>1)空间中傅里叶级数特征性质的理论.它主要包括以下两个方面:

①函数g(θ)、g*(θ)及其应用.设F(z)=F(ρeiθ)是单位圆内的解析函数,李特尔伍德和佩利引入两个重要的函数

 

它们对于三角级数和幂级数的研究有着重要作用.主要结果是:若r>1,则存在仅与r有关的常数Ar,Br,使得

成立.

②三角级数的二进分块.设实值函数f(x)∈Lp(0,2π),

由上面(*)式可以得到结论:存在常数Ap(p>1),使

 

这个不等式是研究Lp空间中傅里叶级数的基本工具,其作用相当于刻画L2(0,2π)空间特征性质的帕塞瓦尔(Parseval)等式,对低维空间的情形特别有效,50年代时由E.M.斯坦(Stein)推广到高维空间.

(2)哈代-李特尔伍德极大函数 30年代,哈代和李特尔伍德在研究傅里叶级数时,引进了极大函数算子.设f(x)为Rn中的局部可积函数,称

 

为f的极大函数,其中B(x,r)代表以x为中心、r为半径的球,|B(x,r)|为球的体积.他们证明,(Mf)(x)是几乎处处有限的,只要f∈Lp(Rn),1≤p≤∞;且有

 

A是与p,n有关的常数.

由极大函数的定义可知,(Mf)(x)≥|f(x)|几乎处处成立;另一方面,只要f∈Lp(Rn)(p>1),仍有(Mf)(x)∈Lp(Rn).基于这种性质,用(Mf)(x)便能有效地控制那些在Lp上有界的算子,最后可以通过函数本身的大小达到估计算子的目的.极大函数的研究对分析数学的发展起了重要作用,并逐渐应用到了其他的数学分支中.

(3)不等式 20年代后期,李特尔伍德从幂级数的均值和有界双线性形式两个方向研究了不等式,几年后又与A.C.奥佛德(Offord)和哈代分别就上述两方面继续进行了探讨,对三角多项式与巴拿赫(Banach)空间理论产生了影响.

1934年,他与哈代、G.波利亚(Pólya)合作出版《不等式》(Inequalities)一书,这是不等式方面的第一部专著.

李特尔伍德与哈代之间几十年的合作是默契而成果丰硕的,他们合写的文章占李特尔伍德全部著作的1/2,在哈代的著作中也占了1/3的比例.通常,李特尔伍德将文章的基本框架搭好,使用那些哈代熟悉的符号进行表述,然后由哈代补充完善成为一篇形式优美、内容严谨充实的论文.哈代对李特尔伍德给予了高度的评价,认为他是自己所遇到的最优秀的数学家,能解决相当高深复杂的问题,没有别的人能像他那样把洞察力、技巧和学识巧妙地结合在一起并运用自如.

李特尔伍德有一套指导学生的独特方法.他的手头总是有二三十道题目,学生们可以任意选择并尝试解决,行不通的话可以另外再选.而实际上,这些问题都是李特尔伍德所崇敬的数学家们曾经考虑过但未能解决的,用这种办法可以有效地培养学生们的毅力和创造力.“拿道难题来试试,或许你无法攻克它,但却有可能获得别的东西.”这是李特尔伍德常对学生们讲的.

根据自己多年的实践,李特尔伍德把数学家的创造性活动归纳为四个阶段:准备、酝酿、明确和验证.准备阶段需要强烈的好奇心,要提取本质问题并清晰地反映到意识中,运用所有相关的知识,联系可能类似的事物;酝酿是在等待答案的过程中潜意识所进行的活动;明确阶段,创造性的思想进入意识中,可能在几分之一秒内发生.