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数学归纳法证明不等式

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  • 数学归纳法

在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤:

(1)证明 `n=1` 时命题成立;

(2)证明:如果 `n=k` 时命题成立,那么 `n=k+1` 时命题也成立.

我们有(1)(2)作依据,根据(1),知 `n=1` 时命题成立,再根据(2)知 `n=2` 时命题成立,再依据(2)知 `n=3` 时命题成立,这样延续下去,就可以知道对任何正整数 `n` 命题成立,这种证明方法叫做数学归纳法.

用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤是:

(1)证明当 `n=1` 取第一个值 `n_0`(例如 `n_0=1, `或 `2` 等)时结论正确;

(2)假设当 `n=k~(k\in N^*, 且 k\ge n_0)` 时结论正确,证明当 `n=k+1` 时结论正确.

在完成这两个步骤后,可以判定命题对于从开始的所有正整数 `n` 都正确.

我们称不等式 `(1+x)^n\ge 1+nx~~(x>-1)` 为贝努利不等式.

可以用数学归纳法证明贝努利不等式.