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数学反常识--有哪些数学常识与人们的生活经验不符?

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数学反常识--有哪些数学常识与人们的生活经验不符?

作者:傅渥成

圣彼得堡悖论(St.Petersburg Paradox):一场赌博游戏,大家投掷硬币直至出现正面为止,一共投掷的非正面的次数假设为N,则可以赢得2^N元的奖金,那么你愿意投入多少钱来参加这个游戏?实际上参加这个游戏你能赢到的钱的期望是多少?

通过分析可以知道,实际上你赢钱的期望值是巨大的。那么如果真的有这样一个提供这种游戏的赌场,为了使赌场不至于亏本,公平起见,你也应该投入很多的钱来玩这个游戏。可是我们的直觉都会告诉我们,即使是来参加一场「公平」的赌博,那也不应该投入太多的钱来参加这个游戏,甚至有心理学的统计表明,大多数人从直觉上考虑,会觉得投入2~4块左右的钱来玩这个游戏才是比较公平的。考虑边际效益递减,这种「错误」或许反而是「理性的胜利」。不管怎样,这个问题分析得到的结果很可能与你的最初直觉违背。更多的分析请参考维基百科条目「圣彼得堡悖论」。在这个悖论的基础上,产生了效用函数(Utility)的理论。

Monty Hall三门问题:「参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率?」

这个问题也是被说烂了的,换门后会大大增加中奖概率,但这与直觉会相违背。条件概率的有关问题在日常生活中经常容易犯错,我们自己在某种赌博中连续输了好几次之后总是安慰自己,「我靠,连续输这么多次了,下次怎么也不可能再输了吧」;又或者那种笑话「自己带一个炸弹上飞机」;再例如考试常考的「已知老王家有一个儿子,那么他再生一个儿子的概率是多少?」我们自己常常会在这些事情上犯错。

最短的路径的修建(Steiner树问题):如果希望连接正方形上四个顶点处的四个城市,怎样修建公路可以使得总路径最短?你能「直觉」想到如下图所示的结果吗?(最优解时,角AEB=120°,在边长a=1的情况下,总路线长度将小于对角线式的连接方式,计算可得:\(L=1+\sqrt{3}=2.732<2\sqrt{2}=2.828)\)。

成长吧啊

数学上还有很多很多这样的例子:以为很简单的问题其实是很难的难题;有时候做着做着就忘了某些定理成立的条件;一些看似简单的方程却存在一些奇特的解的形态,不考虑条件概率和Bayesian定理从而相信各种伪科学……说得极端点,在受过教育之前,我们对数学几乎完全没有可以天生的直觉,几乎(这个「几乎」也可以看成是数学用语^_^)只要一出手就会错。我们会很难相信奇数跟整数一样多,整数跟有理数一样多(Hilbert旅店问题),无穷长的周长可以围着有限的面积,关联不意味着因果,调和级数是发散的,甚至逻辑上的逆命题、否命题、逆否命题……所有这些都只有在稍稍经过训练之后才有可能出现这种「直觉」。

2013-11-18