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拉格朗日

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拉格朗日

拉格朗日(Lagrange, Joseph-Louis)是法国数学家、力学家、天文学家。1736年1月25日生于意大利西北部的都灵;1813年4月10日卒于巴黎。拉格朗日,成长吧啊,数学

拉格朗日的祖父是法国人、祖母是意大利人。他的父亲是一位富商,曾想把拉格朗日培养成自己商业上的接班人,因此希望他学法律。但拉格朗日在中学时代读了天文学家哈雷写的一篇谈论计算方法的小品文——《在解决求光学玻璃的焦点问题时,近世代数优越性的一个实例》之后,就对数学和天文学发生了兴趣,不久进入都灵皇家炮兵学院学习。通过自学的方式钻研数学,尚未毕业就担任了该院的部分数学教学工作。18岁时开始撰写论文,19岁被证式聘任为该院的数学教授。

1755年,拉格朗日开始和欧拉通信讨论"等周问题",从而奠定了变分法的基础。

1757年,拉格朗日和几位年轻科学家创办了都灵科学协会和学术杂志《都灵文集》,在《都灵文集》上他发表了大量论文,1764年和1766年因在天文学研究中取得的成果,先后两次获得法国科学院奖,从而在世界范围赢得了很高的声誉。

1766年,在柏林科学院物理数学所任所长的欧拉,要重回彼得堡,临行前普鲁士国王排特烈大帝(Frederick the Great)要欧拉推荐一位称职的继任者。欧拉认为非拉格朗日莫属,同时达朗贝尔也作了同样的推荐。于是排特烈大帝亲自写信给拉格朗日说:“欧洲最伟大的君王希望欧洲最伟大的数学家到他的宫廷里来。”于是拉格朗日到了柏林,就任柏林科学院物理数学所所长职务,这时他年仅30岁。

拉格朗日在柏林科学院整整工作了20年,在这期间,他对代数、数论、微分方程、变分法、力学和天文学都进行了广泛而深入的研究,并取得了丰硕的成果,其作品浩如烟海。

对于微积分学,拉格朗日试图抛弃自牛顿以来模糊不清的无穷小概念。拉格朗日的学生们发现无限小和无限大的概念很难掌握,而传统形式的微积分学充满了这些概念。为了克服这些困难,拉格朗日试图不用莱布尼茨的"无穷小"和牛顿的极限的特殊概念来建立微积分学,为此他写成《解析函数论》。此书的副标题是:"不用无穷小,或正在消失的量或极限与流数等概念,而归结为有限的代数分析的艺术"。他试图把微分、无穷小和极限等概念从微积分中完全排除。他先用代数方法证明了泰勒展开式,接着定义导数(微商)是 `f(x+h)` 的泰勒展开式中h的系数,然后建立起全部分析学。他认为这样就可以克服极限理论的困难,可是无穷级数的收敛问题,仍然无法逃避极限。尽管他的"纯代数的微分学"没有成功。但他另辟溪径的探讨得到高度的赞赏,并推动了柯西和其他一些人去创立一种令人满意的微积分学,从而对后来微积分基础理论的逻辑发展产生了深远的影响。特别是《解析函数论》对函数的抽象处理,可说是实变函数论的起点。他还给出了泰勒级数的余项公式,研究了二元函数极值,阐明了条件极值的理论,并研究了三重积分的变量代换等问题。

在微分方程中,他也获得了很多重要结果:例如,对奇解与通解的联系作了系统的研究,用明确而漂亮的手法从通解中消去常数而得到奇解,从而给出了一般性的方法;他还发现,线性齐次方程的通解是一组独立的特解的线性组合,而且在知道了n阶线性齐次方程的m个特解后,可以把方程降低m阶;在解线性非齐次微分方程时,他提出了常数变易法。

拉格朗日对代数和数论曾作出过杰出贡献。他是最早意识到一般五次和一般更高次的代数方程。不存在根式求解法的数学家之一。他的《关于方程的代数解的研究》,开辟了代数发展的新时期。

拉格朗日最得意的著作是《分析力学》,撰写这部巨著,他倾注了大量的智慧和精力,整整经历了37个春秋。在这部著作中,他利用变分原理建立了优美、和谐的力学体系,把宇宙描绘成为一个由数字和方程组成的有节奏的旋律。这部著作里的精辟论述,使得动力学这门科学达到了登峰造极的地步,它还把固体力学和流体力学这两个分支统一了起来,从而奠定了现代力学的基础。哈密顿(Hamilton)把这部著作誉之为一部"科学诗篇"。

拉格朗日,成长吧啊拉格朗日1759年被选为柏林科学院院士,1772年被选为法国科学院院士,1776年被选为彼得堡科学院名誉院士,1766一1786年担任柏林科学院的主席。

拉格朗日虽然是一个伟大的天才,但他非常谦逊,虚怀若谷,善于向前辈及同时代的科学家学习,不断地从各个学科吸取营养丰富自己。他曾说:“我欣赏他人的工作更甚于我自己的工作,我总是不满自己的工作。"他的研究充满了诗人般的想像力。由于他在学术上成就辉煌、道德上品格高尚,赢得了世人的崇敬。例如,1793年9月法国资产阶级革命政府颁布一项法令:将一切在敌国境内出生的人驱逐出境并没收其财产,但特别声明尊贵的拉格朗日先生除外。

拉格朗日在逝世前的两天曾平静地说:"我此生没有什么遗憾,死亡并不可怕,它只不过是我要遇到的最后十个函数。"

拉格朗日去世后,意大利百科全书说他是意大利数学家,法国百科全书说他是法国数学家,德国的数学史说他一生的主要科学成就是在柏林完成的。拉格朗目的著作极为丰富,但未能全部收集齐。他去世后,法兰西研究院汇集了他留在该学院内的全部著作,编辑出版了十四卷《拉格朗日文集》。拿破仑(Napoleon)赞美"拉格朗日是一座高耸在数学世界的金字塔"。

 

拉格朗日 传记

我不知道。

                                         ——拉格朗日

数学科学的一座巍峨的金字塔

约瑟夫·路易·拉格朗日是18世纪法国最伟大、最谦和的数学家。他在数论、代数方程论、微积分、微分方程以至天文学和物理学等领域都有独特的贡献;他和欧拉一起缔造了变分法,并且在这个基础上创立了分析力学。法国皇帝拿破仑一世称他是“数学科学的一座巍峨的金字塔”。他请拉格朗日当上议院议员,授予伯爵爵位和各种荣誉勋章。撒丁国王阿马戴乌斯三世和普鲁士的腓特烈大帝也给予他许多荣誉。同时代的著名数学家傅里叶对他更有一个全面的评价:

“拉格朗日在整个一生中,以他欲望的适度和对人类命运的不可动摇的关切,以他生活的简朴和品格的高尚,最后,以他科学工作的准确性和深刻性,证明了他是一位伟大的数学家,也是一位哲学家。”

心灵的召唤

1736年1月25日,屋顶上的积雪在阳光下闪闪发光,亮晶晶的水滴顺着屋檐淅淅沥沥地奏起悦耳的乐曲,一种说不出的欢乐和紧张不安的气氛笼罩着亚平宁半岛西北部的都灵城里一幢赭红色的宅院。当玛丽·拉格朗日太太抱起哇哇啼哭着的婴儿的时候,双唇不禁微微颤抖,泪水顺着面颊扑簌扑簌地往下掉。命运总是和她作对,每当她刚刚尝到欢乐的甜头,就引来无限的惆怅。约瑟夫已经是她的第11个孩子啦,可是上面的10个孩子降生不久,都被无情的病魔夺去了生命。

这一次,命运终于露出笑容。约瑟夫长得白白胖胖,逗人喜爱。笼罩在拉格朗日家的不安气氛被孩子清脆的笑声驱赶得无影无踪。约瑟夫·路易·拉格朗日兼有法国和意大利的血统。祖父是法国的炮兵队长,受聘来到都灵为撒丁王国服务,和当地一位名门闺秀结婚以后,就在这里定居下来。父亲一度是撒丁陆军部的司库;母亲玛丽是坎培诺一位富有的物理学家的独生女。活泼可爱的约瑟夫一诞生,就成为全家的中心。不过父母亲没有把他整天“含在嘴里”。他们对孩子提出严格的要求,并且亲自指导他的学习。

小拉格朗日性格沉静。可能是因为没有兄弟姐妹的缘故,他难得一个人到花园里嬉耍。他喜欢和爷爷一起在书房里消磨时光。那里的每一本书,每一册画,白发苍苍的爷爷都能给他讲一则动人的故事。爷爷的神情是那么庄重,他说的话是那样富于感染力,听着听着,小拉格朗日仿佛来到尘土飞扬的大道上,看到奴隶们在烈日下拖着沉重的脚镣蹒跚前行,他们的背上印着道道血痕;又好像站在农夫阴暗的茅舍门前,听见小女孩跪在床前低声抽泣,骨瘦如柴的母亲已经奄奄一息;……等到爷爷讲完故事,小拉格朗日已经泪痕满面。故事的悲惨情节把他深深打动了。

在学校里,拉格朗日最喜爱古代语言。他不但通晓希腊语和拉丁语,还能写一手好文章。他一直记得,头发花白的语文老师拿着他的文章用抑扬顿挫的声调在班上朗读的情景。有人说,数学家应该是诗人。这句话有点道理。数学家不是干巴巴的“计算机器”,只知道和各种“枯燥无味”的数学符号打交道。从历史上看,几乎一切的大数学家,像笛卡儿费马、牛顿、莱布尼兹,以至后来的欧拉、高斯、柯西、罗巴切夫斯基等,他们对文学,对古代语言无不具有强烈的爱好和极高的修养。我国的华罗庚苏步青等著名数学家也有许多诗文佳作,在文学上有相当的造诣。这显然不是偶然的巧合。因为一个好的数学家,不但要有机敏精细的头脑,还需要有诗人般的想像力。

放学回家,拉格朗日独自一个人关在书房里,爬上小梯子在书架里东找西翻,尽情浏览。他博览了数不清的哲学、历史、文学和艺术的经典著作,也看了许多欧几里得阿基米德的数学著作。希腊数学家的杰作,构思巧妙,立论严谨,每一个专题都称得上是数学科学的一颗明珠。伟大的阿基米德的创造天才和孜孜不倦的钻研精神,赢得拉格朗日的深深景仰。不过,他对几何的方法总感到不满足。因为用这种方法解决问题,没有一致的固定程序可以遵循,需要有极高的技巧,而它所解决的问题往往只局限于所考虑的特定图形。有一天,他在一堆亚里士多德的著作里,无意中翻出一本灰白色封皮的小册子。虽然只有薄薄几页,却有一个极长的书名:《微积分简介——微积分方法和它对于希腊几何方法的优越性》,作者是牛顿的朋友哈雷。一本科普读物和古希腊的经典哲学著作夹在一起,显然是放错了地方。他不觉信手翻阅起来。如果有人说,一部好的科普作品可以产生一个伟大的科学家,恐怕谁也不会相信。不过,拉格朗日确实是受到哈雷作品的启发,走上献身数学科学的道路。在这样一个事实面前,拉格朗日受到巨大的震动:和历史悠久的希腊几何相比,微积分不过是刚刚脱离襁褓的幼儿。可是,就像《封神榜》里的哪吒,年龄虽小,本事却无比高强。无论在数量上还是难度上,他竟然创造出连几何“爷爷”都梦想不到的奇迹。他怔怔地拿着哈雷的小船子,满脸通红,眼睛里放射出奇异的光彩。对分析的热情在他的心中熊熊燃烧。他听到自己心灵在召唤:这是一项值得终身为之奋斗的事业!

拉格朗日,成长吧啊

从此以后,在拉格朗日的房间里,古希腊的哲学名著让位给牛顿的《自然哲学的数学原理》;欧拉浩瀚的论著挤走了古典的文艺作品。夜深了,家里的人早已进入梦乡,拉格朗日的房间仍然亮着灯。看到孩子废寝忘食地攻读,母亲不得不穿起衣服来干涉。拉格朗日是听话的孩子,他答应妈妈看完这一节就休息。可是看好以后,他躺在床上,辗转反侧,怎么也睡不着。他悄悄爬起来,用一块黑布把油灯遮上,想稍微再看上几页。心想知道了下文的概略或许可以安睡了。谁知一捧起书本,他竟把自己的约束忘得一干二净。欧拉无疑是数学分析方面举世无双的大师,他的著作流畅自然,浑如天成。看了上一节不由得你又急着想看下一节。拉格朗日流连在繁花似锦的分析园地里,完全着迷了!就这样,拉格朗日在书桌旁送走一个个阴冷的黑夜,在求索的喜悦中迎来霞光万道的黎明。经过日日夜夜的精心雕凿,璞玉焕发出璀璨的光辉。教师和同学都惊讶地发觉,和他的数学才华相比,拉格朗日的文学成绩简直不值一提。“分析学家”的美誉很快传遍全校。到毕业的时候,老师特别把他推荐到著名的都灵炮兵学校,向未来的炮兵军官讲授高深的数学理论。

挑战

皇家炮兵学校坐落在都灵的东南,是一幢三层楼哥特式的建筑。两旁婀娜多姿的菩提树,像欢迎的行列一直通向大门。年龄刚刚19岁的拉格朗日来这里讲授弹道学理论的消息,引起学生们的巨大好奇。他们挤在校长室的门口,都想一睹青年教授的风采。拉格朗日穿一件深褐色的长袍,身材修长;高高的鼻梁,下巴瘦削,配上一对机敏的眼睛,显得十分精神。他说话不多,轻声轻气地,与其说他是数学家,倒不如说像文静的姑娘。看着新来教师腼腆的模样,校长的心里不禁嘀咕起来:聘请这样一个还带着几分稚气的年轻人来担任数学教授是不是太冒失?幸亏还没有等他想出一个不损伤青年自尊心的辞退方法,事实已经作出回答。拉格朗日端庄的举止和学术上的精湛造诣把同事们彻底征服了;他和蔼可亲的态度和精细入微的分析讲解博得同学们的交口称赞。校长心头的疑虑顿时烟消云散。不过,总还有个别的“老顽固”想试一试这个“乳臭未干”的小青年的真本事。有一次,一个同事好不容易从《难题集锦》一类书本中找来几个“难题”,来向他挑战。这当然找错了对象。拉格朗日解答这类问题,轻松得就像在做最简单的小学算术题。

这时候,拉格朗日要挑战的是变分法,这是难住了当时著名的大数学家欧拉的一个难题。在本书第6章里,我们介绍过产生变分法的那些求极大或极小值的实际问题。在数学上讲,就是求某个“泛函”的极值。泛函和常见的函数不同,它的定义域是由一些函数构成的集合而不是通常的点集。这使得问题异常棘手。欧拉经过10多年的努力,利用几何和分析相结合的方法来求极值曲线取得成功。不过他的论证极其复杂,应用的范围也受到限制。尽管存在这些缺陷,能够在这样困难的领域里取得进展,还是受到高度的赞赏。欧拉立刻理所当然地被公认为当时健在的最伟大的数学家。俗话说:“初生牛犊不怕虎。”初出茅庐的拉格朗日没有被欧拉的名声所吓倒,更没有在变分法的难度面前畏缩。他发现欧拉的方法“不具有用纯分析方法来解决一个问题所希望的那种简明性”。他决心另辟蹊径,找出一种比较简便的、统一的方法来。他写信征求老前辈欧拉的意见。欧拉自己也曾经探索过用纯分析方法来求极值曲线,可是,用他自己的话说,他遇到了“无法逾越的障碍”。看到都灵一个默默无闻的青年居然有这样的雄心壮志,欧拉大为吃惊。不过,老欧拉有宽阔的胸怀和自知之明。年轻人发誓要超过他,他不认为是触犯了自己的尊严。他清楚,人类向科学高峰的攀登是一项无比壮丽的伟大事业。它不是一个天才的工作,也不是几个天才的工作。这需要一代人踩着上一代人的肩膀,一代一代地向上攀登。在变分法领域里,欧拉走到了自己的老师约翰·伯努利的前头,现在,都灵的一个青年摩拳擦掌地要冲到自己的前面去了。他没有不快或妒意,只有无限的欣慰之情。老欧拉愉快地摊开稿纸,写了一封热情洋溢的回信。