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平面向量的基本定理及性质

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共线向量基本定理

如果`\vec a = \lambda \vec b(\lambda  \in R)`,则`\vec a//\vec b`;反之,如果`\vec a//\vec b`且`\vec b \ne \vec 0`,则一定存在唯一的实数`\lambda `,使`\vec a = \lambda \vec b`.(口诀:数乘即得平行,平行必有数乘).

平面向量基本定理: 如果 `\vec{e_1},~\vec{e_2}`是同一平面内的不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 `\vec{a}`, 有且只有一对实数 `λ_1,~λ_2`, 使$$\vec{a}=λ_1\vec{e_1}+λ_2\vec{e_2}.$$

 把不共线的向量 `\vec{e_1},~\vec{e_2}` 叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 (base).

注:由平面向量基本定理可知:只要向量`\overrightarrow {{e_1}} `与`\overrightarrow {{e_2}} `不共线,平面内的任一向量`\vec a`都可以分解成形如`\vec a = {\lambda _1}\overrightarrow {{e_1}}  + {\lambda _2}\overrightarrow {{e_2}} `的形式,并且这样的分解是唯一的. `{\lambda _1}\overrightarrow {{e_1}}  + {\lambda _2}\overrightarrow {{e_2}} `叫做`\overrightarrow {{e_1}} `,`\overrightarrow {{e_2}} `的一个线性组合.平面向量基本定理又叫平面向量分解定理,是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.

推论1若`\vec a = {\lambda _1}\overrightarrow {{e_1}}  + {\lambda _2}\overrightarrow {{e_2}}  = {\lambda _3}\overrightarrow {{e_1}}  + {\lambda _4}\overrightarrow {{e_2}} `,则`{\lambda _1} = {\lambda _3},{\lambda _2} = {\lambda _4}`.

推论2若`\vec a = {\lambda _1}\overrightarrow {{e_1}}  + {\lambda _2}\overrightarrow {{e_2}}  = \vec 0`,则`{\lambda _1} = {\lambda _2} = 0`.

线段定比分点的向量表达式

如图所示,在△ABC中,若点D是边BC上的点,且`\overrightarrow {BD}  = \lambda \overrightarrow {DC} `(`\lambda  \ne  - 1`),则向量`\overrightarrow {AD}  = \frac{{\overrightarrow {AB}  + \lambda \overrightarrow {AC} }}{{1 + \lambda }}`.在向量线性表示(运算)有关的问题中,若能熟练利用此结论,往往能有“化腐朽为神奇”之功效,建议熟练掌握.

三点共线定理

平面内三点A,B,C共线的充要条件是:存在实数`\lambda ,\mu `,使`\overrightarrow {OC}  = \lambda \overrightarrow {OA}  + \mu \overrightarrow {OB} `,其中`\lambda  + \mu  = 1`,O为平面内一点.

此定理在向量问题中经常用到,应熟练掌握.

ABC三点共线

` \Leftrightarrow `存在唯一的实数`\lambda `,使得`\overrightarrow {AC}  = \lambda \overrightarrow {AB} `;

` \Leftrightarrow `存在唯一的实数`\lambda `,使得`\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OA}  + \lambda \overrightarrow {AB} `;

` \Leftrightarrow `存在唯一的实数`\lambda `,使得`\overrightarrow {OC}  = (1 - \lambda )\overrightarrow {OA}  + \lambda \overrightarrow {OB} `;中线向量

` \Leftrightarrow `存在`\lambda  + \mu  = 1`,使得`\overrightarrow {OC}  = \lambda \overrightarrow {OA}  + \mu \overrightarrow {OB} `.

中线向量定理

如图所示,在△ABC中,若点D是边BC的中点,则中线向量`\overrightarrow {AD}  = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + ``\overrightarrow {AC} )`,反之亦正确.