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平方和公式

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平方和公式: 指的是从1开始的连续自然数的平方的和.

\(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\)


  • 证明方法

证法一:(归纳猜想法)

(1)当 `n=1` 时,\(1=\frac{1\left(1+1\right)\left(2\times1+1\right)}{6}=1\) 公式成立;

当 `n=2` 时,\(1+4=\frac{2\left(2+1\right)\left(2\times2+1\right)}{6}=5\) 公式成立;

(2)设 `n=k` 时,公式成立,即 \(1+4+9+\cdots+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}.\)

(3)则当 `n=k+1` 时,

\(\begin{align} 1+4+9+\cdots+k^2+\left(k+1\right)^2 & =\frac{k\left(x+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\\ &=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\\ &=\frac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}\\ & =\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}\end{align}\)

也满足公式.

根据[[数学归纳法|数学归纳法]],对一切自然数 `n` 有 \(1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) 成立.

证法二:(利用立方差公式)

立方差公式: \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\), 则:

\(\begin{align}(n+1)^3-n^3 &=1×[(n+1)^2+n^2+(n+1)n)] \\& =3n^2+3n+1 \end{align}\);

\(n^3-\left(n-1\right)^3=3\left(n-1\right)^2+3\left(n-1\right)+1\);

……

\(3^3-2^3=3\times2^2+3\times2+1\);

\(2^3-1^3=3\times1^2+3\times1+1\).

把这 `n` 个等式两端分别相加,得:

\(n^3+3n^2+3n=3\left(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2\right)+3·\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n\).

整理后得:

\(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\).