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套用的境界--是感觉还是套用以前思路?

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套用的境界--数学高手在解答题目时,是形成了一种难以用语言表达的感觉,还是仅仅搜寻套用以前解答过的题目思路?

完全是套用以前或别人的思路。不存在所谓的 「难以用语言表达的感觉」。

再牛的数学家也是在套用已有的思路方法。

数学能力的高低体现在套用的境界。大牛巴拿赫曾说:

A mathematician is a person who can find analogies between theorems;a better mathematician is one who can see analogies between proofs and the best mathematician can notice analogies between theories.One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.

还有人说,解答数学题,就是把数学题转化为已经解决的问题。@祝风翔 所引的 Polya 的计划制定要点,也处处体现着这个意思。

没有什么神秘的灵感,最多就是套用得诡异,以致说不清怎么套的。

我以拼图来做个比喻:

上帝有一卷书,数学家们称之为 The Book。此书被撕得粉碎扔给人类。数学家们做的就是把这卷书给拼起来。这比拼图还难,因为我们都不知道这书原来长什么样子。比如这里是目前可怜的一点成果:Proofs from THE BOOK | http://book.douban.com/subject/4107941/

拼图大家都玩过。没有人会在第一步去解决中间一块碎片,如果有人这么做,就算他声称自己有 「灵感」,大家也一定知道他在忽悠。数学上倒经常发生这种事,而且还真有人信。

小学里最基础的数学,就像是在解决拼图的四角和边缘。越往上学,就像是越接近拼图的中心。

那些已经拼好的部分,就相当于已经掌握的数学知识和思维方法,或者像是别人解决了的难题。

解答一个数学题,一定是基于已经掌握的知识;这就像加上新碎片一定是根据已经拼好的部分。

数学水平的高低,就如同一般人会根据碎片上的图案拼,好一点的会根据碎片的颜色拼,优秀的会根据边缘的形状拼,而神级人物会根据碎片的纹理拼。

不管什么水平,要正确拼上新的碎片,都需要对已经拼好的部分足够熟悉。体现在数学学习上,就是要对学过的东西深入理解,用过的方法熟练掌握。

体现在数学研究上,就是要对别人的工作反复钻研,完全消化已有的成果。

理解得浅显,只能看到拼图上的图案;理解得透彻,就能看清拼图的纹理。

有些所谓大牛,好像随便想想就做出来了。他们拼上去的东西,怎么看都像是信手一扔。

但人家能够达到这个境界,是因为所学的知识已经融会贯通,拼好的部分已烂熟于心了。

因此数学水平的提高,无他,唯脑熟尔。多玩玩拼图,多总结经验,自然就会越玩越好。

2012-06-30