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天才之路

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天才之路

自序

伯特兰·罗素在自传中回忆了他青年时的危机:

“有一条小路,穿过田野,通向新南盖特,我经常独自一人到那里去观看落日,并想到自杀。然而,我终于不曾自杀,因为我想更多地了解数学。”

诚然,很少有人能够如此虔诚地皈依数学,但是,确有许多人懂得数学的力量,特别是懂得数学之美。本书谨献给那些愿更深入地探索漫长而壮丽的数学史的人们。

对于文学、音乐和美术等各种学科,人们一向以考证杰作——“伟大的小说”、“伟大的交响乐”、“伟大的绘画”,作为最适宜和最有启发性的研究课题。人们就这些题目著书立说,授课讲学,使我们能够了解这些学科的某些里程碑和创造这些里程碑的伟人。

本书运用类似的方法来研究数学,而书中大师们创造的不是小说或交响乐,而是定理。因此,本书不是一本典型的数学教材,没有一步一步地推导某些数学分支的发展,也没有强调数学在确定行星运行轨道、理解计算机世界,乃至结算支票等方面的应用。当然,数学在这些应用领域取得了惊人的成就,但并非这些世俗功利促使欧几里得阿基米德或乔治·康托为数学殚精竭虑,终生不悔。他们并不认为应借功利目的为自己的工作辩解,正如莎士比亚不必解释他何以要写十四行诗,而没有写菜谱,或凡高何以要画油画,而没有画广告画一样。

我将在本书中从数学史的角度来探讨某些最重要的证明和最精巧的逻辑推理,并重点阐述这些定理为什么意义深远,以及数学家们是如何彻底地解决了这些紧迫的逻辑问题的。本书的每一章都包含了三个基本组成部分:

第一部分是历史背景。本书所述及的“伟大定理”跨越了2300多年的人类历史。因而本人在论述某一定理之前,将先介绍历史背景,介绍当时的数学状况乃至整个世界的一般状况。像其他任何事物一样,数学也是在一定的历史环境中产生的。因此,有必要指明卡尔达诺三次方程的解法出现在哥白尼日心说公布后两年和英格兰国王亨利八世死前两年,或强调青年学者艾萨克·牛顿1661年进入剑桥大学学习时,王政复辟对剑桥大学的影响。

第二部分是传说性的。数学是有血有肉的实实在在的人的造物,而数学家的生平则可能反映出灵感、悲剧或怪诞。本书所涉定理体现了许多数学家的勤奋努力,从交游广阔的李昂纳德·欧拉到生性好斗的约翰·伯努利和带有最市俗的文艺复兴特征的赫罗拉莫·卡尔达诺,不一而足。了解这些数学家的不同经历,有助于我们更好地理解他们的工作。

第三部分,也是本书的重点,是在这些“数学精萃”中所表现出的创造性。不读名著,无从理解;不观名画,无从体味,同样,如果不去认真地、一步一步地钻研这些证明方法,也不可能真正掌握这些著名的数学定理。而要理解这些定理,就必须全神贯注。本书各章仅仅意在为理解这些定理梳理线索。

这些数学里程碑还具有一种永世不灭的恒久性。在其他学科,今天流行的风尚,往往明天就遭人遗忘。一百多年前,沃尔特·司各脱爵士还是当时英国文学中最受尊重的作家之一,而今天,人们对他已淡然。20世纪,超级名星们匆匆来去,转瞬即成历史,而那些旨在改变世界的观念,最终却常常变成思想垃圾。

诚然,数学也必须时常改变其趣味。但是,受严格逻辑限制而证明的数学定理则是永恒的。公元前300年欧几里得对毕达哥拉斯勾股定理的证明,并未因时光的流逝而丝毫丧失它的美与活力。相反,古希腊时期的天文学理论或医术却早已变成陈旧而有点儿可笑的原始科学了。19世纪的数学家赫尔曼·汉凯尔说得好:

“就大多数学科而言,一代人摧毁的正是另一代人所建造的,而他们所建立的也必将是另一代人所破坏的。只有数学不同,每一代人都在旧的结构上加进新的内容。”

在这种意义上,我们探讨伟大数学家历久弥新的成果,就能够从中体会奥利弗·亥维赛精辟的论说:“逻辑能够很有耐性,因为它是永恒的。”

对体现数学精髓的这些定理的选择,是由许多因素决定的。如前所述,我主要的考虑是找到具有深刻见解或独创性的论题。当然,这里有一个个人好恶的问题。我承认,不同的作者可能会选取不同的定理。然而,能够直接看到数学家通过巧妙的演绎,将看似深奥的问题变得清晰易懂,确实是一种不同寻常的经历。据说,聪明人可以战胜困难,而天才则可以战胜不可能。本书将展示许多天才。这里有真正的经典——数学中的《蒙娜·丽莎》或《哈姆雷特》。

当然,选择这些定理也有其他的考虑。其一,我希望本书能够包容历史上主要数学家的定理。例如,欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉必不可少。忽略这些数学家,犹如研究美术史而不提伦勃朗或塞尚的作品一样。

其二,为求全面,我兼顾到数学各个分支。本书的命题涉及平面几何、代数、数论、解析和集合等内容。各种命题,以及它们之间的偶然联系和相互影响,为本书增添了一些生动的气息。

我还希望能在本书中容纳各种重要的数学定理,而不仅仅是一些小巧的游戏或机变。实际上,本书的大部分定理或者解决了长期存在的数学问题,或者为将来提出了意义深远的问题,或者二者兼而有之。每一章的结尾处有后记,一般记述伟大定理提出的问题及其在数学史上的影响。

这里有一个定理难度的问题。显然,数学有许多伟大的里程碑,其深度和难度除专家外,其他人都会感到莫测高深。在一本针对一般读者的书中引入这些命题,是十分愚蠢的。本书所涉定理,仅要求具备高中代数和几何知识即可。但有两处例外,一是第9章在讨论欧拉的定理时使用了三角学的正弦曲线,二是第7章在讨论牛顿的定理时应用了初等积分;许多读者已经掌握了这些知识,而对于那些尚未掌握这些知识的读者,本书做了一些解释,以帮助他们克服阅读中的困难。

应当指出,本书不是一本学术著作。一些重大而微妙的数学或历史问题当然不可能在这种书中一一述及。但我尽力避免编入一些不正确或历史上不准确的材料,因为这不是对所有问题的所有方面追根问底的时间和场合。总之,本书是一本大众读物,不是科学著作或新闻报道。

就此,我必须对论证的确切性说几句。在准备写这本书的时候,我发现不可避免地要在定理创始人最初使用的符号、术语和逻辑思维与现代读者对数学资料的理解要求之间作出某些折衷。完全照搬原作会使人感到非常难于理解;但严重偏离原作又与我的历史目标相冲突。总之,我实际上尽力保留了定理原作的全部要旨和大量细节。而我所作的某些修改并不严重,不过就像是用现代乐器演奏莫扎特的乐曲一样。

现在,我们即将开始穿越二千年数学里程的旅行。这些定理虽然古老,但在历经多少个世纪之后,却依旧保持着一种新鲜感和灿烂的魅力。我希望读者能够理解这些论证,并能够领会这些定理的伟大之处。对于那些做到了这一点的读者,我希望他们不仅会对他人的伟大之处肃然起敬,还会因为能够理解大师著作而怡然自得。

威廉·邓纳姆
俄亥俄州,哥伦布