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复数的三角形式

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复数三角形

\(z = r(\cos \theta  + i\sin \theta )(r \ge 0)\)称为复数的三角形式,\(r\)为模,\(\theta \)为辐角,若\(\theta  \in [0,2\pi )\),则称\(\theta \)为辐角主值.复数的三角形式目前在高考中属于“超纲”内容,但在自主招生考试中则不属于“超纲”.这一点请考生务必注意.有关三角形式的运算如下:

(1)\({r_1}(\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1}){r_2}(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2}) = {r_1}{r_2}[\cos ({\theta _1} + {\theta _2}) + i\sin ({\theta _1} + {\theta _2})]\);

(2)\(\frac{{{r_1}(\cos {\theta _1} + i\sin {\theta _1})}}{{{r_2}(\cos {\theta _2} + i\sin {\theta _2})}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}[\cos ({\theta _1} - {\theta _2}) + i\sin ({\theta _1} - {\theta _2})]\);

(3)\({[r(\cos \theta  + i\sin \theta )]^n} = {r^n}(\cos n\theta  + i\sin n\theta )\)(棣莫弗定理).

又若复数\(z = r(\cos \theta  + i\sin \theta )(r \ge 0)\),则它的\(n\)方根是以下\(n\)个复数:

\(\sqrt[n]{r}(\cos \frac{{\theta  + 2k\pi }}{n} + i\sin \frac{{\theta  + 2k\pi }}{n})(k = 0,1,2,\cdots ,n - 1)\).