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哥德巴赫猜想

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数学猜想,是指依据某些已知事实和数学知识,对未知的量及其关系所作出的一种似真的推断,它既有一定的科学性,又有某种假定性。伟大的科学家牛顿深刻指出:“没有大胆的猜想,就作不出伟大的发现。”哥德巴赫猜想就是这样一个著名的猜想。

“哥德巴赫猜想”所研究的是数论中的内容。我们知道,自然数可以分成奇数和偶数两大类,也可以把自然数分成1,素数和合数三部分。奇数和偶数的关系是很明显的,奇数加1是偶数,偶数加1是奇数;素数和合数之间的关系也是比较明显的,一个合数可以分解成几个素数的乘积,反过来,几个素数相乘的结果是个合数。那么,这两种分类之间是什么关系呢?也就是说,奇数和偶数与素数之间是什么关系呢?“哥德巴赫猜想”就是一座把奇数、偶数以及素数连接起来的桥梁。

1742年,哥德巴赫在给大数学家欧拉的一封信中提出了:

(1)每一个大于或等于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和;

(2)每一个大于或等于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

例如,6=3+3,8=5+3,以及9=3+3+3,11=3+5+3,等等。

同时,我们可以明显地看出,命题(1)和命题(2)是有联系的,即命题(2)是命题(1)的直接推论,只要命题(1)正确,就能证明命题(2)正确。有人对33×106以下的每一个不小于6的偶数一一进行验算,都表明它是正确的。然而验算还不能代替证明,一部分数还不能代替一切数。这个看起来十分明显的问题,证明起来又是十分困难的。

从“哥德巴赫猜想”提出以来,整个十八世纪,十九世纪都没有人能证明它,“哥德巴赫猜想”的研究是从二十世纪二十年代开始有所进展的。人们为了研究这个难题,开创和发展了一些崭新的数学方法,例如圆法、估计指数和的方法、筛法等。

1920年挪威数学家布朗迈出了有决定意义的一步。他证明了每一个充分大的偶数都可以表示为两个数的和,这两个数都是若干个素数的乘积,而因子的个数不超过9,为了叙述的方便,我们把这个结果简单地记为

偶数=(9+9)

后来,又有不少数学家从事用“筛法”来解决“哥德巴赫猜想”问题的研究。并且分别取得了较好的成果。直到1950年维诺拉多夫证明了:偶数=(3+3),1958年我国数学家王元证明了:偶数=(2+3)。但是所有的这些证明结果有一个共同的弱点,就是其中的两个数没有一个可以肯定为素数,于是,有人又开辟了另一个战场。即设法证明:一个充分大的偶数可以表示为一个素数与几个素数乘积的和。简记为

偶数=(1+r),(r为常数)

我国数学家对“哥德巴赫猜想”研究作出了很大的贡献,早在1938年华罗庚就证明了命题(1)对几乎所有的偶数都成立,解放以后,在华罗庚教授、闵嗣鹤教授的指导下,我国一些年轻的数学工作者推进了“哥德巴赫猜想”的研究成果。如潘承洞、王元先后证明了:偶数=(1+5),偶数=(1+4)。数学家陈景润在此基础上,对“哥德巴赫猜想”的证明取得了新的进展。他在1973年证明了:每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数及一个不超过两个素数乘积之和。即:

偶数=(1+2)

这个结果已经非常接近于:偶数=(1+1)的最后结果了。陈景润的研究成果发表后,得到了国内外数学家的高度评价,英国数学家哈勃斯丹和德国数学家李希特的著作《筛法》正在印刷付印,他们见到陈景润的论文,立即在这部书里添了第十一章:“陈氏定理”。人们称赞这个定理是运用“筛法”的“光辉的顶点”。正当陈景润在摘取“哥德巴赫猜想”这一明珠的道路上奋力攀登时,不幸英年早逝。我们在缅怀他的同时,要继承和学习他的钻研科学的拼搏精神。