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向量的数量积

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  • 向量的数量积

已 知两个非零向量`\vec{a}、\vec{b}`,那么`|\vec{a}||\vec{b}|cos~θ`叫做`\vec{a}`与`\vec{b}`的数量积或内积,记作`\vec{a}·\vec{b}`.

`0\leqslant θ \leqslant \pi`是`\vec{a}`与` \vec{b}`的夹角, 记作`\left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle `,并规定`\left\langle {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right\rangle ` ` \in \left[ {0,\pi } \right]`.如果`\overrightarrow a `与`\overrightarrow b `的夹角是`\frac{\pi }{2}`,就称`\overrightarrow a `与`\overrightarrow b `垂直,记为`\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b `.

规定: 零向量与任意向量的数量积为`0`.

两个非零向量`\overrightarrow a `与`\overrightarrow b `垂直的充要条件是`\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b `=0.

两个非零向量`\overrightarrow a `与`\overrightarrow b `平行的充要条件是`\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b `=` \pm `| `\overrightarrow a `|| `\overrightarrow b `|.

平面向量数量积的几何意义

数量积`\vec{a}·\vec{b}`的几何意义是:`\vec{a}`的长度`|\vec{a}|`与`\vec{b}`在`\vec{a}`的方 向上的投影`|\vec{b}|cos~θ`的乘积.

即`\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b `=| `\overrightarrow a `|| `\overrightarrow b `|cos θ.( `\overrightarrow b `在`\overrightarrow a `方向上的射影| `\overrightarrow b `|cos θ` = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}`;`\overrightarrow a `在`\overrightarrow b `方向上的射影| `\overrightarrow a `|cosθ` = \frac{{\overrightarrow a  \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}}`).

平面向量数量积的重要性质

性质1 `{\bf{e}} \cdot {\bf{a}} = {\bf{a}} \cdot {\bf{e}} = |{\bf{a}}|\cos \theta `.

性质2 `{\bf{a}} \bot {\bf{b}} \Leftrightarrow {\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = {\bf{0}}.`

性质3 当`{\bf{a}}`与`{\bf{b}}`同向时`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = {\rm{|}}{\bf{a}}||{\bf{b}}|`;当当`{\bf{a}}`与`{\bf{b}}`反向时`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = {\rm{ - |}}{\bf{a}}||{\bf{b}}|`.

`{\bf{a}} \cdot {\bf{a}} = {{\bf{a}}^2} = |{\bf{a}}{|^2}`或`|{\bf{a}}|{\rm{ = }}\sqrt {{{\bf{a}}^2}} `.

性质4 `\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}(\mathbf{a}\ne \mathbf{0},\mathbf{b}\ne \mathbf{0}).`

性质5 `|{\bf{a}} \cdot {\bf{b}}| \le |{\bf{a}}||{\bf{b}}|.`

注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题;利用性质3可以求向量长度;利用性质4可以求两向量夹角;利用性质5可解决不等式问题.

平面向量数量积满足的运算律

(1)`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}}{\rm{ = }}{\bf{b}} \cdot {\bf{a}}`(交换律);

(2)`(\lambda {\bf{a}}) \cdot {\bf{b}}{\rm{ = }}\lambda {\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = {\bf{a}} \cdot (\lambda {\bf{b}})(\lambda `为实数);

(3)`({\bf{a}}{\rm{ + }}{\bf{b}}) \cdot {\bf{c}}{\rm{ = }}{\bf{a}} \cdot {\bf{c}} + {\bf{b}} \cdot {\bf{c}}`(分配律)。

数量积运算法则满足交换律、分配律,但不满足结合律`({\bf{a}} \cdot {\bf{b}}) \cdot {\bf{c}} \ne {\bf{a}}({\bf{b}} \cdot {\bf{c}})`,不可约分

`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}}{\rm{ = }}{\bf{a}} \cdot {\bf{c}} \nRightarrow {\bf{b}} = {\bf{c}}`.

平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量`\mathbf{a}\text{=(}{{\text{x}}_{\text{1}}}\text{,}{{\text{y}}_{\text{1}}}\text{),}\mathbf{b}\text{=(}{{\text{x}}_{\text{2}}}\text{,}{{\text{y}}_{\text{2}}}\text{)}`则 `\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}={{\text{x}}_{\text{1}}}{{\text{x}}_{\text{2}}}\text{+}{{\text{y}}_{\text{1}}}{{\text{y}}_{\text{2}}}` 由此得到

  1. 若`\mathbf{a}\text{=(}x\text{,}y\text{)}`则`{{\mathbf{a}}^{2}}=|\mathbf{a}{{|}^{2}}={{x}^{\text{2}}}\text{+}{{y}^{\text{2}}}` 或`|\mathbf{a}|=\sqrt{{{x}^{\text{2}}}\text{+}{{y}^{\text{2}}}}` ;
  2. 设 两点间距离`|\overrightarrow {AB} | = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{({y_2} - {y_1})}^{\rm{2}}}} `
  3. 设`\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)`, `\theta ` 是 `\vec{a}` 与 `\vec{b}`的夹角,则`\cos \theta  = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} }}`

`1`非零向量`{\bf{a}}{\rm{,}}{\bf{b}},{\bf{a}} \bot {\bf{b}}`的充要条件是`{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0`.

`2`由`{\rm{|}}\cos \theta {\rm{|}} = {\rm{|}}\frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {{x_1}^2 + {y_1}^2} \sqrt {{x_2}^2 + {y_2}^2} }}{\rm{|}} \le 1`得`{({x_1}{x_2} + {y_1}{y_2})^2} \le ({x_1}^2 + {y_1}^2{\rm{)|(}}{x_2}^2 + {y_2}^2)`.

向量中的易错点

(1)平面向量的数量积是一个实数,可正、可负、可为零,且`|{\bf{a}} \cdot {\bf{b}}| \le |{\bf{a}}||{\bf{b}}|`.

(2)当`{\bf{a}} \ne {\bf{0}}`时,由`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = 0`不能推出`{\bf{b}}`一定是零向量,这是因为任一与`{\bf{a}}`垂直的非零向量`{\bf{b}}`都有`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = 0`.

当`{\bf{a}} \ne {\bf{0}}`时,且`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = {\bf{a}} \cdot {\bf{c}}`时,也不能推出一定有`{\bf{b}} = {\bf{c}}`,当`{\bf{b}}`是与`{\bf{a}}`垂直的非零向量,`{\bf{c}}`是另一与`{\bf{a}}`垂直的非零向量时,有`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} = {\bf{a}} \cdot {\bf{c}} = 0`,但`{\bf{b}} \ne {\bf{c}}`.

(3)数量积不满足结合律,即`{\bf{(a}} \cdot {\bf{b)c}} \ne {\bf{(b}} \cdot {\bf{c)a}}`,这是因为`{\bf{(a}} \cdot {\bf{b)c}}`是一个与`{\bf{c}}`共线的向量,而`{\bf{(b}} \cdot {\bf{c)a}}`是一个与`{\bf{a}}`共线的向量,而`{\bf{a}}`与`{\bf{c}}`不一定共线,所以`{\bf{(a}} \cdot {\bf{b)c}}`不一定等于`{\bf{(b}} \cdot {\bf{c)a}}`,即凡有数量积的结合律形式的选项,一般都是错误选项.

(4)非零向量夹角为锐角(或钝角).当且仅当`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} > 0`且`{\bf{a}} \ne \lambda {\bf{b}}(\lambda  > 0)`(或`{\bf{a}} \cdot {\bf{b}} < 0`,且`{\bf{a}} \ne \lambda {\bf{b}}(\lambda  < 0))`.

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 即:若`\vec{a}=(x_1,y_1),~\vec{b}=(x_2,y_2)`,则`\vec{a}·\vec{b}=x_1·x_2+y_1·y_2`数量积具有以下性质:

1. `\vec{a}·\vec{a}=|a|^2≥0`;

2. `\vec{a}·\vec{b}=\vec{b}\vec{a}`;

3. `k(\vec{a}·\vec{b})=(k\vec{a})·\vec{b}=\vec{a}·(k\vec{b})`;

4. `\vec{a}·(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}· \vec{b}+ \vec{a}·\vec{c}`;

5. `\vec{a}·\vec{b}=0 \iff \vec{a}⊥\vec{b}`;

6. `\vec{a}=k\vec{b} \iff \vec{a}//\vec{b}`;

7. `\vec{e_1}·\vec{e_2}=|\vec{e_1}||\vec{e_2}|cos~θ`.