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向量与三角形内心、外心、重心、垂心

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(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成 2:1;

(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;

(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;

(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等.

  • 三角形四心与向量的结合

1.重心

`\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow ``O`是`\Delta ABC`的重心.

证明: 必要性是显然的, 下面证明充分性.

证法1:设 `O(x,y),A({x_1},{y_1}),B({x_2},{y_2}),C({x_3},{y_3})`

`\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow `

`\left\{ \begin{array}{l}({x_1} - x) + ({x_2} - x) + ({x_3} - x) = 0\\({y_1} - y) + ({y_2} - y) + ({y_3} - y) = 0\end{array} \right.`

`\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3}}}{3}\\y = \frac{{{y_1} + {y_2} + {y_3}}}{3}\end{array} \right.`

证法二:成长吧啊,重心,数学

如图所示,因为\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 0\),

所以 \(\overrightarrow {OA}  =  - (\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} )\).

以\(\overrightarrow {OB} \),\(\overrightarrow {OC} \)为邻边作平行四边形\(BOCD\),

则有\(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} \),

所以\(\overrightarrow {OD}  =  - \overrightarrow {OA} \).

又因为在平行四边形\(BOCD\)中,\(BC\)交\(OD\)于点\(E\),

所以 `\overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {EC} `,`\overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {ED}`.

所以\(AE\)是 的边\(BC\)的中线.

故\(O\)是$\vartriangle ABC$的重心.

2.垂心

`\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OB}  \cdot \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OC}  \cdot \overrightarrow {OA}  \Leftrightarrow O` 为 `\Delta ABC` 的垂心.

证明:如图所示 `O` 是三角形 `ABC` 的垂心,`BE` 垂直`AC`,`AD` 垂直`BC`, `D、E` 是垂足.

 `\overrightarrow {OA}  \cdot \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OB}  \cdot \overrightarrow {OC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OB} (\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OC} ) = \overrightarrow {OB}  \cdot \overrightarrow {CA}  = 0`

 ` \Leftrightarrow \overrightarrow {OB}  \bot \overrightarrow {AC} `

同理 `\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {BC} ` , `\overrightarrow {OC}  \bot \overrightarrow {AB} `

 ` \Leftrightarrow `  `O` 为 `\Delta ABC` 的垂心.

3.内心

设 `a,b,c` 是三角形的三条边长,`O` 是 `\Delta ` ABC的内心  `a\overrightarrow {OA}  + b\overrightarrow {OB}  + c\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow O` 为 `\Delta ABC` 的内心.

证明: (1)证明必要性

`\because \frac{{\overrightarrow {AB} }}{c},\frac{{\overrightarrow {AC} }}{b}`分别为`\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} `方向上的单位向量,

`\therefore  \frac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{b}`平分`\angle BAC`,

` \because O` 为 `\Delta ABC` 的内心,

`\therefore \overrightarrow {AO}  = \lambda (``\frac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{b}`),令`\lambda  = \frac{{bc}}{{a + b + c}}`

`\therefore \overrightarrow {AO}  = \frac{{bc}}{{a + b + c}}`(`\frac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{b}`)

化简得`(a + b + c)\overrightarrow {OA}  + b\overrightarrow {AB}  + c\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 `

`\therefore  a\overrightarrow {OA}  + b\overrightarrow {OB}  + c\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 `.

(2)证明充分性

`\because  a\overrightarrow {OA}  + b\overrightarrow {OB}  + c\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 `

`\therefore a\overrightarrow {OA} b(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AB})+c(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {AC})`,

化简得`(a + b + c)\overrightarrow {OA}  + b\overrightarrow {AB}  + c\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 `

`\therefore \overrightarrow {AO}  = \frac{{bc}}{{a + b + c}}`(`\frac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{b}`)

`\because \frac{{\overrightarrow {AB} }}{c},\frac{{\overrightarrow {AC} }}{b}`分别为`\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} `方向上的单位向量,

`\therefore  \frac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \frac{{\overrightarrow {AC} }}{b}`平分`\angle BAC`,

`\therefore O` 为 `\Delta ABC` 的内心.

4.外心

`\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|`` \Leftrightarrow ``O`为`\Delta ABC`的外心.

这个比较显然, 证明略.