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反比例函数

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反比例函数  一般地, 形如 `y=\frac{k}{x}` (`k` 为常数, `k\neq 0`)的函数 称为反比例函数(inverse proportional function), 其中 `x` 是自变量, `y` 是函数. 自变量 `x` 的取值范围是不等于 `0` 的一切函数.

  • 反比例函数的图像和性质

(1)反比例函数的图像

反比例函数 `y=\frac{k}{x}` 的图像是双曲线, 它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量 `x\neq 0`,函数值 `y\neq 0`,所以它的图像与 `x` 轴、`y` 轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴.

`y=\frac{k}{x}` 的图像:

    

(2)反比例函数的性质

反比例函数的性质
反比例函数 `y=\frac{k}{x}~(k\neq 0)`
`k` 的符号 `k>0` `k<0`
性质 当 `k>0` 时, 函数图像的两个分支分别在第一、第三象限.在每个象限内, `y` 随 `x` 的增大而减小. 当 `k<0` 时, 函数图像的两个分支分别在第二、第四象限.在每个象限内, `y` 随 `x` 的增大而增大.

注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当 `k>0` 时,`y` 随 `x` 的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾.

反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数 `k` 的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性,也可以推断出 `k` 的符号. 如 `y=\frac{k}{x}` 在第一、第三象限,则可知 `k>0`.

反函数的特点:

①反比例函数 `y=\frac{k}{x}~(k\neq 0)` 中比例系数 `k` 的绝对值 `|k|` 的几何意义.

如图所示,过双曲线上任一点 `P(x,y)` 分别作 `x` 轴、`y` 轴的垂线,`E、F` 分别为垂足,则 `|k|=|xy|=|x|·|y|=PF·PE=S_{矩形OEPF}`.

②反比例函数 `y=\frac{k}{x}~(k\neq 0)` 中, `|k|` 越大,双曲线 `y=\frac{k}{x}` 越远离坐标原点;  `|k|` 越小,双曲线 `y=\frac{k}{x}` 越靠近坐标原点.

③双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线 `y=x` 和直线 `y=-x`.