你在这里

函数的对称性

主标签

函数关于 `y`(即 `x=0`)轴对称,偶函数有关系式 `f( - x) = f(x)`;

奇函数关于 `(0,0)` 对称,奇函数有关系式 `f(x) + f( - x) = 0`.

  • 一个函数图象自身关于直线对称

函数 `y = f(x)` 关于 `x = a` 对称 `\iff f(a + x) = f(a - x)`;

`f(a + x) = f(a - x)` 也可以写成 `f(x) = f(2a - x)` 或 `f( - x) = f(2a + x)`.

 简证:设点 `({x_1},{y_1}) ` 在 ` y = f(x) ` 上,通过 ` f(x) = f(2a - x)` 可知, `{y_1} = f({x_1}) = f(2a - {x_1})`,

即点 `(2a - {x_1},{y_1})` 也在 `y = f(x)` 上,而点 `({x_1},{y_1})` 与点 `(2a - {x_1},{y_1})` 关于 `x=a` 对称. 得证.

若写成: `f(a + x) = f(b - x)`,函数 `y = f(x)` 关于直线 `x = \frac{{(a + x) + (b - x)}}{2} = \frac{{a + b}}{2}` 对称.

  • 一个函数图象自身关于点对称

(1)函数 `y=f(x)` 关于点 `(a,b)` 对称 `\iff f(a+x)+f(a-x)=2b`;

上述关系也可以写成 `f(2a + x) + f( - x) = 2b` 或 `f(2a - x) + f(x) = 2b`.

简证:设点 `({x_1},{y_1})` 在 `y = f(x)` 上,即 `{y_1} = f({x_1})`,通过 `f(2a - x) + f(x) = 2b` 可知,`f(2a - {x_1}) + f({x_1}) = 2b`,

所以 `f(2a - {x_1}) = 2b - f({x_1}) = 2b - {y_1}`,

所以点 `(2a - {x_1},2b - {y_1})` 也在 `y = f(x)` 上,而点 `(2a - {x_1},2b - {y_1})` 与 `({x_1},{y_1})` 关于 `(a,b)` 对称. 得证.

若写成:`f(a + x) + f(b - x) = c`,函数 `y = f(x)` 关于点 `(\frac{{a + b}}{2},\frac{c}{2})` 对称.

(2)函数 `y=f(x)` 关于原点 `(0,0)` 对称 `\iff f(x)+f(-x)=0`;

(3)函数 `y=f(x)` 关于 `x` 轴上的点 `(a,0)` 对称 `\iff f(x)+f(2a-x)=0`;

(4)函数 `y=f(x)` 关于 `y` 轴上的点 `(0,b)` 对称 `\iff f(x)+f(-x)=2b` .

  • 两个不同函数图象关于点对称

(1)函数 `y=f(x)` 与函数 `y=2b-f(2a-x)` 关于任意点 `(a,b)` 对称;

(2)函数 `y=f(x)` 与函数 `y=-f(-x)` 关于原点 `(0,0)` 对称;

(3)函数 `y=f(x)` 与函数 `y=-f(2a-x)` 关于 `x` 轴上的点 `(a,0)` 对称;

(4)函数 `y=f(x)` 与函数 `y=2b-f(-x)` 关于 `y` 轴上的点 `(0,b)` 对称.

  • 两个不同函数图象关于直线对称

(1)函数 `y=f(x)` 与函数 `a-x=f(a-y)` 关于直线 `x+y=a` 对称;

特例:函数 `y=f(x)` 与函数 `-x=f(-y)` 关于直线 `x+y=0` 对称;

(2)函数 `y=f(x)` 与函数 `x-a=f(y+a)` 关于直线 `x-y=a` 对称;

特例:函数 `y=f(x)` 与函数 `x=f(y)` 关于直线 `y=x` 对称(互为反函数);

(3)函数 `y=f(x)` 与函数 `y=f(-x+2a)` 关于直线 `x=a` 对称.