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函数的周期性

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函数的周期性定义 设函数 `y = f(x) (x\in D)` 存在非零常数 `T`,使得对任何 `x\in D`,都有 `f(x + T) = f(x)`,则函数 `f(x)` 为周期函数, `T` 为函数的一个周期. 若在所有的周期中存在一个最小的正数,则这个最小的正数叫最小正周期.

常见周期函数形式:

(1)若对定义域内的任意一个 `x` ,都有 `f(x+a)=-f(x)` ,则函数 `f(x)`的周期为 `2a`.

(2)若对于定义域内任意一个 `x` ,都有 `f(x + a) = \frac{1}{{ \pm f(x)}}`,则函数 `f(x)` 的周期为 `2a` .

(3)若函数满足 `f(a + x) = f(a - x)`且 `f(b + x) = f(b - x)`,则函数 `f(x)` 的周期为 `2|b-a|`,即函数 `f(x)` 的图像关于直线 `x=a` 及 `x=b` 都对称,则 `2|b-a|` 是它的一个周期.

(4)若函数 `f(x)` 的图像有两个对称中心 `(a,0)`,`(b,0)(a\neq b)`,则 `f(x)` 是周期函数,且 `T = 2\left| {b - a} \right|` 是它的一个周期.

(5)若函数 `f(x)` 的图像有一条对称轴 `x=a`,一个对称中心 `(b,0)(a\neq b)`,则 `f(x)` 是周期函数,且 `T = 4\left| {b - a} \right|` 是它的一个周期.

(6)若函数 `f(x)` 满足 `f(a + x) = \frac{{1 + f(x)}}{{1 - f(x)}}`,则 `f(x)` 的周期为 `4a`.