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函数的值域

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函数的值域有函数的定义域和对应法则确定的, 不论用什么方法求值域时都要考虑其定义域.

求函数值域的常用方法

(1)观察法:根据最基本函数值域(如\({x^2}\)≥0,\({a^x} > 0\)及函数的图像、性质、简单的计算、推理,凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域.

(2)配方法:对于形如\(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点,结合二次函数的定义城求出函数的值域.

(3)图像法:根据所给数学式子的特征,构造合适的几何模型.

(4)基本不等式法:注意使用基本不等式的条件,即一正、二定、三相等.

(5)换元法:分为三角换元法与代数换元法,对于形\(y = ax + b + \sqrt {cx + d} \)的值城,可通过换元将原函数转化为二次型函数.

(6)分离常数法:对某些齐次分式型的函数进行常数化处理,使函数解析式简化内便于分析.

(7)判别式法:把函数解析式化为关于x的―元二次方程,利用一元二次方程的判别式求值域,一般地,形如\(y = Ax + B\) ,`\sqrt {a\mathop x\nolimits^2  + bx + c} `或`y = \frac{{a\mathop x\nolimits^2  + bx + c}}{{d\mathop x\nolimits^2  + ex + f}}`的函数值域问题可运用判别式法(注意x的取值范围必须为实数集R).

(8)单调性法:先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性,再求出值域.对于形如`y = \sqrt {ax + b}  + \sqrt {cx + d} `或`y = ax + b + \sqrt {cx + d} `的函数,当ac>0时可利用单调性法.

(9)有界性法:充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域.因为常出现反解出y的表达式的过程,故又常称此为反解有界性法.

(10)导数法:先利用导数求出函数的极大值和极小值,再确定最大(小)值,从而求出函数的值域.