你在这里

函数与方程

主标签

对于函数`y = f\left( x \right)`,我们把使`f\left( x \right) = 0`的实数`x`叫做函数`y = f\left( x \right)`的零点.

  • 方程的根与函数零点的关系

方程`f\left( x \right) = 0`有实数根` \Leftrightarrow `函数`y = f\left( x \right)`的图像与`x`轴有公共点` \Leftrightarrow `函数`y = f\left( x \right)`有零点.

  • 零点存在性定理

如果函数`y = f\left( x \right)`在区间`\left[ {a,b} \right]`上的图像是连续不断的一条曲线,并且有`f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0`

,那么函数`y = f\left( x \right)`在区间`\left( {a,b} \right)`内有零点,即存在`c \in \left( {a,b} \right)`,使得`f\left( c \right) = 0,c`也就是方程`f\left( x \right) = 0`的根.

  • 二分法

 对于区间`\left[ {a,b} \right]`上连续不断且`f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0`的函数`f\left( x \right)`,通过不断地把函数`f\left( x \right)`的零点

所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程`f\left( x \right) = 0`的近似解就是求函数`f\left( x \right)`零点的近似值.

  • 用二分法求函数`f\left( x \right)`零点近似值的步骤

(1)确定区间`\left[ {a,b} \right]`,验证`f\left( a \right) \cdot f\left( b \right) < 0`,给定精度`\varepsilon `.

(2)求区间`\left( {a,b} \right)`的中点`{x_1}`.

(3)计算`f\left( {{x_1}} \right)`.若`f\left( {{x_1}} \right) = 0,`则`{x_1}`就是函数`f\left( x \right)`的零点;若`f\left( a \right) \cdot f\left( {{x_1}} \right) < 0`,则令`b = {x_1}`(此时零点`{x_0} \in \left( {a,{x_1}} \right)`).若`f\left( b \right) \cdot f\left( {{x_1}} \right) < 0`,则令`a = {x_1}`(此时零点`{x_0} \in \left( {{x_1},b} \right)`)

(4)判断是否达到精确度`\varepsilon `,即若`\left| {a - b} \right| < \varepsilon `,则函数零点的近似值为`a`(或`b`);否则重复第(2)—(4)步.

 用二分法求方程近似解的计算量较大,因此往往借助计算完成.