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二项式定理史略

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翻开数学历史的画卷,我们会发现:某一个命题或一个公式从产生到完备,从特殊到一般,往往走过几百年甚至几千年的漫长旅程,不同民族、不同时期的数学家们都对它做出过贡献。二项式定理就是其中的一例。

早在公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷2设有如下命题:“任意分一线段成两段,则整段上的正方形等于两分段上的正方形与两分段所构成矩形的二倍之和。”若以ab表示两分段长,则上述命题就是

`(a+b)^2=a^2+b^2+2ab` (2-2-1)

在中国,成书于公元1世纪的《九章算术》提出世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序,其中有公式(2-2-1)以及公式

 (2-2-2)

的应用。不难从几何图形上得出(2-2一1)和(2-2-2)的直观证明。

公元5世纪,印度数学家阿耶波多(Aryabhata,476~?)在其数学著作中给出求来访根和立方根的法则,从中我们知道阿耶波多也熟悉公式(2-2一1)和(2-2-2)。

由于三次以上开方的需要,11世纪中叶,中国数学家贾宪给出了直到六次幂的二项式系数表,如图2-2-1所示。其中第i层即为 展开式的系数。贾宪称整张数表为“开方作法本原”。今称“贾宪三角”。但贾宪未给出二项系数的一般公式,因而未能建立一般正整数次幕的二项式定理。贾宪的数学著作已失传,13世纪数学家杨辉在《详解九章算法》(1261)中引用了开方作法本原图,注明此图出“《释锁算书》,贾宪用此术”,因而流传至今。只是后人往往因此把它误称为“杨辉三角”。

14世纪初,数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303)中复载此图,但增了两层,并添了两组平行斜线(图2-2-2)。由此可推知,朱世杰已总结出贾宪三角中相邻两层的关系:自第二层始,各层上每一数都是其上两数之和。用今天的组合数公式来表示,这就是:

   (2-2-3)

11、12世纪,阿拉伯数学家奥马·海牙姆(Omar  Khayyam,1048?~1131)将印度人的开平方、立方运算推广到任意高次,因而研究了高次幂二项展开式。奥马·海牙姆的原著已失传,13世纪,阿拉伯数学家阿尔·徒思(Al-Tusi,1201-1274)在其《算板与沙盘算法集成》(1265)一书中给出高次幕开方近似公式:

 (2-2-4)

阿尔·徒思利用二项展开式计算公式(2-2-4)右边第二项,为此他给出了直到12次幂的二项系数表,并注意到了性质(2-2-3),阿尔·徒思所给数表可能就是奥马·海牙姆的。

15世纪,另一位阿拉伯数学家阿尔·卡西(Al-Kashi,1380?~1429)在其《算术之钥》(1427)中介绍开任意高次幂方法,给出二项系数的两种造表法,一种是利用公式(2-2-3),另一种则与贾宪的方法完全相同。他给出直到9次幕的数表(图2-2-3)。他的著作受过中国宋元数学的影响。

在欧洲,13世纪德国数学家约丹努斯(Jordanus,Nemorarius,1225~1260)在一本未出版的算术书中给出一张二项系数表,形状与贾宪三角一样,但有11层。16世纪,德国数理天文学家阿皮亚努斯(P.Apianus,1495~1552)于1527年出版的一部算术书的扉页上出现一张二项系数表(图2-2-4)。1544年,德国数学家斯蒂菲尔(M.Stifel,1486~1567)在其《整数算术》中给出直到16次的二项系数表,并引入“二项系数”这一术语。此后,德国数学家舒贝尔(J.Scheubel,1497~1570)、法国数学家佩勒蒂埃(J.Peletier,1517~1582)、意大利数学家塔塔格里亚、卡丹和邦贝利(R.Bombelli,1526~1572)、荷兰数学家斯蒂文(S.Stevin,1548?~1620)和吉拉尔(A.Girard,1595~1632)、英国数学家奥特雷德(W.Oughtted,1574~1660)、布里格斯(H.Briggs,1561~1631)分别在出版于1545、1549、1556、1570、1572、1585、1629、1631和1633年的数学著作中载有二项系数表(Smith 1925,507~510)。其中卡丹给出了数表上同一层相邻两数关系(Boyer 1950),用今天的记号,它是

   (2-2-5)

可惜卡丹未将(2-2-5)用于展开二项式,否则他已能得出正整数次幂的二项式定理了。

到了1654年,法国数学家帕斯卡(B.Pascal,1623~1662)著《论算术三角形》一文,详论二项系数的性质和应用。该文于他去世后的1665年在巴黎发表。如图2-2-5所示,过任一点0作纵横相互垂直的两直线,从0开始分别在两直线上依次截取等长线段,记分点为1,2,3,等等。然后连接两线上同序号分点,得到一系列等腰直角三角形011,022,033,等等。分点连线11,22,33等是它们的底边。又过分点作两直线的平行线,两组平行线相交构成许多小正方形,帕斯卡称之为“单元”。对角被同一底边穿过的单元称为“同底单元”,同底单元中与底边两端等距的两个单元称为“互反单元”。

 现在,在位于第一行和第一列的单元中放入任意正整数,帕斯卡称之为“生成元”。其它每个单元中的数(也直接称作单元)等于同行中前一单元和同列中上一单元之和。若以 表示位于第p行第q列的单元,则上述规则就是:

 (2-2-6)

根据上述构造法,帕斯卡获得算术三角形的许多性质。考虑生成元为1的情形,帕斯卡有(Smith 1959,67~79;Struik 1986,21~26):

(1)在每一个算术三角形中,第一行与第一列的所有单元都等于生成元,即 ;

(2)在每一个算术三角形中,任一单元等于上一行中从第一列开始到它所在列的所有单元之和,即 ;

(3)在每一个算术三角形中,任一单元等于前一列中从第一行开始到它所在行的所有单元之和,即 ;

(4)在每一个算术三角形中,任一单元减去1等于它所在行列所围的所有单元(不包括所在行列)之和,即 ;

(5)在每一个算术三角形中,任一单元与互反单元相等,即 ;

(6)在每一个算术三角形中,同指标的行和列是由彼此各相等的单元所组成,即第i行与第i列的元素对应相等;

(7)从第二条开始,每一条底边(上所有单元之和)是前一条底边(上所有单元之和)的两倍,即 ;

(8)每一条底边是一个首项为1、公比为2的等比数列中的一项,即 ;

(9)每一条底边减去1等于前面所有底边之和,即 ;

(10)在每一个算术三角形中,一条底边上从一端开始的任一个连续单元之和等于前一条底边上同样多个连续单元之和,再加上该底边上个数少是的单元之和,即 ;

(11)行列指标相同的单元等于同行(列)中前(上)一单元的两倍,即 ;

(12)在每一个算术三角形中,同底的两相邻单元之比等于它们到各自一侧端点间所含单元个数之比,即 ;

(13)在每一个算术三角形中,任一单元与同列中上一单元之比等于上一单元所在底边的指标与所在行的指标之比,即 ;

(14)在每一个算术三角形中,任一单元与同行中前一单元之比等于前一单元所在底边的指标与所在列的指标之比,即 ;

(15)在每一个算术三角形中,任一行与该行最后一个单元之比等于该算术三角形指标与该行指标之比,即 ;

(16)在每一个算术三角形中,任一行与下一行之比等于下一行的指标与该行单元个数之比,即 ;

(17)在每一个算术三角形中,任一单元加上它所在列中上面所有单元与该单元加上它所在行中前面所有单元之比等于所取的列单元数与行单元数之比,即 ;

(18)在每一个算术三角形中,与两端等距的两行之比等于它们所含单元个数之比,即 ;

(19)在行列指标相同的单元中,后一单元与前一单元4倍之比等于前一单元所在底边的指标与该指标加1之比,即 ;

帕斯卡对上述性质都有例证,值得注意的是,性质(12)的证明中利用了数学归纳法思想,具有重要历史意义(参阅2.7节)。帕斯卡说,致力于算术三角形研究的人们或许还能发现一些更为漂亮的结果。

帕斯卡又给出了上述性质的应用。利用性质(12),他得 之一般公式:

 (2―2―7)

利用性质(2)或(3)及公式(2-2-7),帕斯卡获得了各阶等差数列求和公式(他将算术三角形诸行依次称作“一阶数”、“二阶数”、“三阶数”,等等),如

 ,

 ,

   ,

……

帕斯卡指出,n次幂二项式系数恰好是算术三角形第 条底边上的各单元。这样,帕斯卡最早建立了正整数次幂的二项式定理:

      (2-2-8)

帕斯卡还研究了二项系数在自然数幂和、组合理论及概论计算等方面的应用,他的工作在数学史上具有十分重要的意义,算术三角形至今在西方仍以他的名字命名。

1695年,德国数学家莱布尼茨(G.W.Leibniz,1646~1716)和瑞士数学家约翰·伯努利(John Bernoulli,1667~1748)将正整数次幂的二项式定理推广到三项以上情形:

 (2-2-9)

其中 。

约翰·伯努利的哥哥雅各·伯努利(Jacob Bernoulli,1654~1705)在遗著《猜想的艺术》(1713)中讨论多项展开式与组合数的关系,同样获得公式(2-2-9),并且发现,(2-2-9)右边的项数为算术三角形第n列前m个单元之和,即

利用算术三角形性质,此即

1665年,英国大数学家牛顿(I.Newton,1642~1727)在研究数学之初即考虑 的展开式问题(Smith 1959,219~228;Struik 1986,284~291)。英国著名这家德摩根在1865年1月16日伦敦学会主席就职演说中曾提到:“一个数学家需要知道不同数学分支中的发明过程,他需要明白:牛顿是在沃利斯已经给出的更高等的定理提示下才发明二项式定理的。”(Fauvel,Maanen 2000,35)那么,牛顿是如何发明一般有理数指数情形的二项式定理的呢?原来,1664年左右,他阅读了英国数学家沃利斯(J.Wallis,1616~1703)的《无穷算术》一书。书中求得曲线

下的面积分别为

   (2-2-10)

沃利斯试图通过插值方法获得曲线

 (2-2-11)

下的面积,但未能成功。牛顿观察到

(1)(2-2-10)中诸面积的首项均为x,次项分别为

故(2-2-11)中诸曲线面积的首项也应为x,次项分别应为

(2)(2-2-10)中诸面积级数中的系数分母为1,3,5,7,…,因此(2-2-11)中诸曲线面积级数的系数分母亦应满足同样的规律。

综合上面两点,所求级数应分别具有如下形式:

 

(3)(2-2-10)中诸级数的系数分子分别为11的幂的各位数:

  

在上表右边部分(即贾宪三角)各行中,如果记第二个数为m,则后面的数依次可通过乘积

来得到,而待求级数的系数也应满足同样的规律。在(2-2-12)中, ,因而牛顿得到曲线 下的面积级数为:

   或即

类似可求得其他级数。

牛顿在作出上述发现后,立即想到对原来的函数

或即

也可以进行同样的行值。这样,他就得到了

得到这些结果后,牛顿很快就得到一些有理数指数情形的二项展开式。牛顿将其表述成:

 (2-2-13)

 

其中 分别表示第一、二、三…项, 。(2-2-13)也可写成:

 (2-2-14)

数年后,苏格兰数学家格雷戈里(J.Gregory,1638~1675)重新发现了该定理。

到18世纪,数学家们开始对二项式定理作证明。法国数学家蒙特摩尔(P.R.de Montmort,1678~1719)在初版于1708年的概率著作《机会游戏分析》(Essai d’Analyse sur les Jeux de Hazard)中证明指数为4的二项式如下。

设想我们手头有四个筹码,每个筹码有正反两面,正面黑,反面白。利用帕斯卡的算术三角形可以证明:一次掷这四个筹码的所有16种可能情形中,四面都是黑色的有一种;三面黑一面白的有4种;二黑二白的有6种,等等。根据乘法法则, 展开式中, 和 项相当于上面的四黑和四白情形;所有 和 项相当于上面的三黑一白和三白一黑情形;所有 项相当于上面的二黑二白情形。因此,展开式系数必为1,4,6,4,1,与上述掷四筹码情形相一致。

1742年,意大利数学家卡斯蒂隆(De Castillon,1708~1791)证明了正整数指数情形(Coolidge 1949)。他先以 代替 ,乘积中共有 项。其中含有 中的r个的项的数目与一次从n件物品中取出r件的组合数即 相等,而这样的项显然又含有 。复令 即得(2-2-8)。

1773年,瑞士大数学家欧拉(L.Euler,1707~1783)第一个给出实指数情形的一般证明。他设

 (2-2-15)

n=0时,右边所有系数均消失;n=1时A以后的所有系数均消失;n=2时B以后的所有系数均消失,等等,因此可设

于是

   

比较第二个等号两边x同次幂系数,得 ,…。上述证明同样适合于n为一般实数情形。

早在1742年,英国数学家马克劳林(C.Maclaurin,1698~1746)用求导的方法得出(2-2-15)右边的系数ABC,…,从而也证明了一般有理指数情形。

欧拉的证明只是针对(2-2-15)中xn都是实数的情形,但(2-2-15)对于一般复数xn是否成立呢?这个问题尚未解决。到了19世纪,法国数学家柯西(A.L.Cauchy,1789~1857)研究了x为复数的情形,并证明:当 ,级数

是收敛的。年轻的挪威数学家阿贝尔(N.H.Abel,1802~1829)则对xn均为一般复数的情形作了研究,并证明了此时上述级数当 时是绝对收敛的,从而基本上为二项式定理的历史画上了句号。(来源:wanglixin888.blog.hexun.com/67136362_d.html#657298-qzone-1-83390-5bfda2fb4f826953060699509e48498d)