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二元一次方程(组)

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  • 二元一次方程有关概念

(1)二元一次方程组定义

含有两个未知数, 且未知项的最高次数为1的[[整式|整式]]方程叫做二元一次方程.

如`x+y=7, 2x-3y+3=0`……

(2)二元一次方程的一般形式

二元一次方程的一般形式: `ax+by+c=0 (a\neq 0, b\neq 0)`. 任何一个二元一次方程经过整理后都可以化成一边形式.

(3)二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元一次方程的一个解.

例如:` \begin{cases}
x=1 \\
y=2
\end{cases}`,   ` \begin{cases}
0 \\
-1
\end{cases}`, 都是二元一次方程`3x-y=1`的解, 二元一次方程一般有无数多个解.

(4)二元一次方程解的求法

二元一次方程的解有无数多个, 一般先给定一个未知数的值, 再算出另一个未知数的值, 这样的一对未知数的值就是二元一次方程的一个解.

  • 二元一次方程组有关概念

(1)二元一次方程组的定义

方程组: 多个方程合在一起, 就组成了方程组, 一般多个方程用左半边大括号括在一起.

二元一次方程组: 由两个或两个以上的方程合在一起并且总共只有两个未知数, 未知项的次数为1的方程组就是二元一次方程组.

例如:`\begin{cases}
3x + 5y=4 \\
7x - 2y+3=5
\end{cases}`,   `\begin{cases}2m - 3n = 9 \\4m + n + 4=1\end{cases}`,   `\begin{cases} x =6 \\ 3x - 2y =10 \\ 3y =12 \end{cases}`.

(2)二元一次方程组的解

一般的, 使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程组的解.

(3)检验是否二元一次方程组的解

将一对数值分别代入方程组中的每个方程, 满足所有方程时, 才能说这对数值是此方程组的解.

  • 二元一次方程组的一般解法

(1)代入消元法

概念:将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来,代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程,最后求得方程组的解. 这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法.

代入法解二元一次方程组的步骤

①选取一个系数较简单的二元一次方程变形,用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数;

②将变形后的方程代入另一个方程中,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(在代入时,要注意不能代入原方程,只能代入另一个没有变形的方程中,以达到消元的目的. );

③解这个一元一次方程,求出未知数的值;

④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中,求出另一个未知数的值;

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;

⑥最后检验(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边).

(2)加减消元法

概念:当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时,把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数,从而将二元一次方程化为一元一次方程,最后求得方程组的解,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.

加减法解二元一次方程组的步骤:

①利用等式的基本性质,将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式;

②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程(一定要将方程的两边都乘以同一个数,切忌只乘以一边,然后若未知数系数相等则用减法,若未知数系数互为相反数,则用加法);

③解这个一元一次方程,求出未知数的值;

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中,求出另一个未知数的值;

⑤用“{”联立两个未知数的值,就是方程组的解;

⑥最后检验求得的结果是否正确(代入原方程组中进行检验,方程是否满足左边=右边).