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还有一个错误概念需要反驳。人们很自然地认为“纯数学”和“应用数学”的实用性有很大差别,这是一个假象:这两种数学之间有很大的差别(这一点我将在下面详述),但并没对它们的实用性有很大影响。

 

纯数学和应用数学的区别在哪里?对于这个问题数学界有统一而明确的答案,在我的答案中丝毫没有有悖于正规的说法,但有一些需要事先阐明。

 

下面的两节可能带有一些哲学味,但不会很深,且对我的论点也不是必不可少的。但我在叙述中将常用到一些词,这些词有明显的哲学含义,如果我不解释为什么及怎么用这些词的话,读者也许会感到困惑的。

 

我经常用到“真正的”这个形容词,就像日常生活中用到它一样。我说到过“真正的数学”、“真正的数学家”,就像我会说“真正的诗”和“真正的诗人”一样,而且会继续这么用它。但我将会用到另一个词“实在”(reality),它却有两个含义。

 

首先,我将谈到“物理实在”,这里我用的是一般意义上的词义。对于物理实在我指的是物质世界,昼与夜,地震和日食,也就是物理科学所描绘的世界。

 

我敢说直到现在,没有读者会对我的语言感到困难,但我马上要进入困难的领域了。有另一种实在性,我把它叫做“数学实在”,对于它的本质在数学界和哲学界都没有统一的认识。一些人认为它是“精神”的,某种意义上我们构造了它;另一些人则认为它是外在的,独立于我们。一个人如果能对数学实在给出一个令人信服的解释,他将可以解决形而上学中大多数难题。如果他的解释中也包括了物理实在,这些难题就都解决了。

 

即使我有这个能力,我也不愿在这里讨论这个问题。但为了避免小误解,我还是要申明一下我的立场。我相信数学实在存在于我们之外,我们的任务是去发现或观察它,并且,我们所证明的定理,我们夸耀称之为“创造物”的,只不过是我们观察记录而已。自柏拉图以来很多享有盛誉的哲学家都持有此观点,虽然形式各异。我采用的语言对持有这种看法的人来说是很自然的,读者若不喜欢这种哲学概念可改变这种语言,这对我的结论影响甚微。