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§17

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§17

 

一个有意义的定理必须具备的第二个特性就是“深刻性”。其概念也不易定义,它与“难度”有关,深刻的思想往往难以掌握,但二者也并不完全一样。毕氏定理及推广所蕴含的概念有一定的深度,但现代数学家绝不会认为它难懂。相反,一个定理可能极为肤浅,但却难以证明——如丢番图(Diophantus)的有关求方程整数解的定理。 

数学理论好像分层分布,每一层的内部以及与上下层之间由错综复杂的关系网连接起来。层越往下,理论就越深,也就越难懂。因此“无理数”概念比“有理数”深,同样,毕氏定理比欧氏定理深刻。

 

如果注意整数之间或者任何一特定层次上的其他一些对象集合之间的关系,就会发觉有些关系一目了然,如,不需下一层次概念的任何知识,我们就可以识别并证明整数的性质。因此证明欧氏定理只用整数就行了。但整数有些定理是不能一眼看清的,还得通过挖掘和考虑深一层次的知识才能证明。

 

我们在素数理论中容易发现这种例子。欧氏定理重要但不深刻,我们不需用任何比“可除性”更深刻的概念证明素数无限。

 

当取得了答案后,心中又不免萌生新的问题。素数无穷,但这种无穷的素数究竟如何分布?假定有一个很大的数N,如10的80次方 或 10的10次方的10次方 ㈥,其中有多少个小于N的素数㈦。当我们问这些问题时,就发现自己的思维处在不同的层次了。我们可以用超出想象的精确性来回答这问题,只是要深入一步,不用整数,而用现代函数理论的最有力武器来解决。所以回答我们这个问题的定理比欧氏定理深刻得多。

 

例子是不胜枚举的。但“深刻性”甚至对一个能识别它的数学家来说也是不易说清的,因此我也不妄想还有什么妙语能解开读者的迷惑。