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§15

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§15

 

一个“严肃”的定理是一个包含着“有意义的”概念的定理,因此我有必要进一步分析一下数学概念有意义的特性。这项工作有些难度,而且很难说我作的分析有价值。当目睹一个“有意义的”概念时,我们是一眼能识别的,就像看我的那两个标准定理中的“有意义的”概念一样。但具备这种识别能力需高深的数学知识和长期从事数学研究工作的经验。因此我必须尝试一些数学分析,也应该有可能发掘一些具有说服力的成果。至少有两个特性是至关重要的,即一定的“普遍性”和一定的“深刻性”。但何为“普遍”、何为“深刻”还不能明确给出解释。

 

一个有意义的数学概念,一条严肃的数学定理从下述意义上被认为是“普遍的”。数学概念应该是许多数学构造的要素,应能应用于许多不同种定理的证明。这种定理即使一开始是以相当特殊的形式提出(如毕氏定理),它也应能被广泛地扩展,成为与其同类型定理的典型。证明中所揭示的关系本来应该联系着许多不同的数学概念。所有这一切都还比较模糊,存在许多疑点。但显而易见的是,如果一个定理明显缺乏这些特征,这个定理就不可能是严肃的。为说明我的观点,我只需从浩瀚的代数海洋中抽取几例。下面是从劳斯·鲍尔的《数学游戏》 (Mathematical Recreations)㈡摘取的两例。

 

(a)只有8712和9801是能表示成它们的“反置数”的整数倍的四位数。

 

         8712=4×2178, 9801=9×l089

 

小于10000的其他数不具有这个性质。

 

(b)大于1的数中只有四个数等于它们组成数字的立方和,这四个数是153、370、37l、407。

 

    153 = 13 + 53 + 33   370 = 33 + 73 + 03

    371 = 33 + 73 + 13   407 = 43 + 03 + 73

 

这些实例看来多少有点奇怪,也只有外行或业余爱好者对此有兴趣。对一个数学家来说,它毫无价值,它的证明既不难懂,也不有趣,只是需要花许多时间去尝试。这些定理是不严肃的,其原因之一(也许不是重要原因)是因为其表达和证据都太局限,不具有明显的普遍性。