你在这里

§12

主标签

§12

 

行文至此,要想再有所进展,我就必须提供为每个数学家公认为第一流的“真正的”数学定理的例证,然而此处,我却因我写的东西产生的种种约束被缚住了手脚。一方面,例子必须非常简单,没有专门数学知识的读者也能读懂,无需预先解释,读者就能跟得上清楚的阐述,跟上例子。这些限制就排除了数学中许多最优美的定理,像费马(Fermat)的“二平方”定理或二次互反律。另一方面,我的例证必须来源于“纯正”的数学,也就是专职数学家所从事的数学,这一限制又排除了大量的相对易于理解的定理,因为这些易于理解的定理虽易懂,却与逻辑和数学哲学相涉。

 

别无选择,我只得又回到希腊数学,这里我将阐述并证明两条著名的希腊数学定理。这两条定理从思想到运算都很简单,同时,毫无疑问,又是最高层次的。每一条定理都如同刚发现之日一样清新,一样举足轻重——2000年来它们一直保持着青春。再次,稍有理解力的读者可以在一小时之内掌握全部的论述和证明。

 

1.其中第一个是欧几里得(Euclid)⑦关于存在无限多个素数的证明。素数,或称质数是指下列数字:

 

     2,3,5,7,l1,13,17,19,23,29…           (A)

 

这些数字不能再分解为更小因子的整数,如37和317是素数。所有整数都由素数相乘而得,

   

                666=2×3×3×37

    

任何一个本身不是素数的数(非质数)至少可以被一个素数 (通常可被分解为几个素数) 整除。要证明素数无穷尽,也就是要证明数列(A)无穷。

 先假设(A)是有限的,且

                  2,3,5…P

 

是全部素数的序列(P是最大的素数);在这一假设下,让我们来考察数Q,Q定义为

                  Q=(2×3×5×…×P)+l

显然Q不能被2,3,5,…P中的任何数整除,因为相除时余数为 1。由于不是素数的数总能被某一素数整除,而Q不能被任一素数整除,所以Q是素数。因而,总有一个素数(可能就是Q)任一素数大,这与P是最大的素数的假设相矛盾,因此原假设不成立,即没有比P更大的素数的假设不成立。

 

这种证明方法称为归谬法,这一为欧几里得甚爱的归谬法⑧,是数学家们最好的武器之一。这一着比象棋中开局舍子的任何一种着数高明得多:棋手或许会牺牲一卒或一个棋子,

而数学家舍掉的是整局。