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笛卡尔集

笛卡尔集是集合的一种,假设`A`和`B`都是集合,`A`和`B`的笛卡尔积用`A×B`来表示,是所有有序偶`(a,b)`的集合,其中`a`属于`A,b`属于`B`.

`A × B=\{(a,b)|a属于A且b属于 B \}` ,则`A×B`所形成的集合就叫笛卡尔集.

设`A、B`是两个非空集合,任给 `x∈A,y∈B`,将它们组成一个有序对`(x,y)`,把这种有序对作为新的元素,这些元素的全体组成一个新的集合,称为集合A与集合B的笛卡儿乘积集合,记作`A×B`.即:

`A×B=\{(x,y)|x∈A且y∈B \}`

我们有时也称`A×B`是`A`与`B`的直积.

当`A≠B`时,`A×B≠B×A`

例 `A=\{1,2\},B=\{0,1\}`

`A×B=\{(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)\}`,

`B×A=\{(0,1),(0,2),(1,1),(1,2)\}`,

然,`A×B≠B×A`.

当然,在笛卡儿乘积集合A×B中的A与B可以是任意两个很不相同的集合.

数学三大危机

数学三大危机简述:第一,一位学生发现了一个腰为1的等腰直角三角形的斜边(即根号2)永远无法用最简整数比来表示,从而发现了第一个无理数,推翻了毕达哥拉斯的著名理论,但就因为这样这个学生也被抛入大海;第二,微积分的合理性遭到严重质疑,险些要把整个微积分理论推翻;第三,罗素悖论:S由一切不是自身元素的集合所组成,那S属于S吗?用通俗一点的话来说,小明有一天说:“我正在撒谎!”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于,它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识,它很简单,轻松摧毁集合理论!

数学三大危机

第一次数学危机

公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而,具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。

二、概念图制作方法

2.1 概念图制作的一般步骤

概念地图可采用徒手方式绘制.如采用粉笔、黑板、纸和笔等,也可用平常的办公应用软件如office、wps绘制。但针对概念地图的特点,国外研究出了概念图的制作工具。如:Inspiration,MindManager等。不论是采用何种方式制作概念地图,所遵循的基本思路和基本步骤是一致的,都要阐述概念和概念的联系,表达对概念的理解。

下面方法是对概念地图制作方法的一般步骤。

1.认定中心主题:确定你希望利用概念地图理解的问题焦点、知识或概念,并用这个焦点主题作导引,找出与中心主题相关的概念,并罗列出来。

概念图知识教程

一、概念图基本知识

1.1、概念图的定义

概念图的创始人Novak教授认为,概念图是某个主题的概念及其关系的图形化表示,概念图是用来组织和表征知识的工具。它通常将某一主题的有关概念置于圆圈或方框之中,然后用连线将相关的概念和命题连接,连线上标明两个概念之间的意义关系。概念图又可称为概念构图(concept mapping)或概念地图(concept maps)。前者注重概念图制作的具体过程,后者注重概念图制作的最后结果。现在一般把概念构图和概念地图统称为概念图而不加于严格的区别。

Novak, J.D. 概念图模型(1984)

任意角的三角函数

设`\alpha`是一个任意大小的角. 角`\alpha`的终边上任意一点`P`的坐标是`(x,~y)`, 它与原点的距离是`r~(r=\sqrt{x^2+y^2} > 0)`, 那么关于角`\alpha`,

正弦: 比值 `\dfrac{y}{r}` 叫角 `\alpha` 的正弦, 记做 `\sin \alpha`, 即 `\sin~ \alpha=\dfrac{y}{r}`,

余弦: 比值 `\dfrac{x}{r}` 叫角 `\alpha` 的余弦, 记做 `\cos \alpha`, 即 `\cos~\alpha=\dfrac{x}{r}`,

正切: 比值 `\dfrac{y}{x}` 叫角 `\alpha` 的正切, 记做 `\tan \alpha`, 即 `\tan~\alpha=\dfrac{y}{x}`, 

王元

王元(1930— ),著名数学家华罗庚数学奖得主,主要研究领域是解析数论.他曾任研究室主任、所长、所学术委员会主任、中国数学会理事长、《数学学报》主编,联邦德国《分析》杂志编辑,新加坡世界科学出版社顾问等.

1980年,王元当选为中国科学院院士(当时称学部委员).王元

著作

对数与对数运算

  • 对数定义

如果$a^n=x$  (其中 \(a>0\),且\(a \neq 1\)),那么数 $n$ 叫做以$a$为底$x$的对数(logarithm),记作 $\log_{a}{x}$  其中,$a$ 叫做对数的底数, $x$ 叫做真数,  $n$ 叫做“以 $a$ 为底 $x$ 的对数”.

  • 对数的运算性质

如果 `a>0`, 且 `a\neq 1,~M>0, N>0`, 那么:

(1)`a^{(\log_ab)}=b`;

(2)`\log_aMN=\log_aM+\log_aN`;

(3)`\log_a{\frac{M}{N}}=\log_aM-\log_aN`;

立方和公式

  • 立方和公式

立方和公式: 这里指的是从自然数1开始的连续自然数的立方和.

`1^3 + 2^3 + \cdots + n^3= \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 = (1 + 2 + \cdots + n)^2`

立方和公式


  • 立方和公式证明

取公式:`(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1`

高中数学

初中数学

初中数学公式和知识点总结.

数与代数部分

有理数

整式的加减

一元一次方程

实数

平面直角坐标系

二元一次方程组

不等式与不等式组

整式乘法与因式分解

分式

二次根式

一次函数

一元二次方程

二次函数

反比例函数

图形与几何部分

几何图形初步

相交线与平行线

三角形

全等三角形

轴对称

勾股定理

平行四边形

旋转

相似

锐角三角函数

投影与视图

统计概率部分

数据的收集整理与描述

数据分析

概率初步

张景中

张景中(1936- )河南省汝南县人。曾用名井中。1954年进入北京大学数学力学系学习,1957年肄业,以后曾在北京清河农场等地劳动。1979年任中国科学技术大学数学系讲师,1981年升为副教授。1958年起在中国科学院成都分院工作,任数理科学研究室主任、研究员。计算机科学家、数学家和数学教育学家。中共党员、中国科学院院士、计算机学科和数学学科博士生指导教师、中国科普作家协会理事长。

现任广州大学计算机教育软件研究所所长,中国科学院成都计算机应用研究所名誉所长。1991年开始享受政府特殊津贴。曾获“全国优秀教师”等称号及“全国五一劳动奖章”。

哈代

哈代

高嵘

(辽宁师范大学)

哈代,G.H(Hardy,Godfrey Harold)1877年2月7日生于英国克兰利(Cranleigh);1947年12月1日卒于剑桥.数学.哈代

哈代的父亲I.哈代(Hardy)是克兰利中学的教师,母亲索菲娅(Sophia)是林肯师范学院的教师,他还有一个妹妹.哈代的父母很有文化素养,也极重视数学,因经济拮据未能上大学,却为儿女提供了良好的教育.

平面向量

1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念及两个向量相等的含义与向量的几何表示.

2.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义,掌握向量数乘的运算及其意义,理解两个向量共线的含义.

3.了解平面向量的基本定理及其意义,掌握平面向量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算,理解用坐标表示平面向量共线的条件.

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