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初中数学

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26. 如图 $1$, 在平面直角坐标系中, $O$ 为坐标原点, 点 $A$ 的坐标为 $(-8, 0)$, 直线 $BC$ 经过点 $B~(-8, 6)$, 将四边形 $OABC$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转 $\alpha$ 度得到四边形 $OA'B'C'$, 此时 $OA', B'C'$ 分别与直线 $BC$ 相交于$P, Q$. (1) 四边形 $OA'B'C'$ 的形状是 , 当 $\alpha=90^\circ$ 时, $\dfrac{BP}{PQ}$ 的值是 ; (2) ① 如图 $2$, 当四边形 $OA'B'C'$ 的顶点 $B'$ 落在 $y$ 轴正半轴上时, 求 $\dfrac{BP}{PQ}$ 的值;  ② 如图 $3$, 当四边形 $OA'B'C'$ 的顶点 $B'$ 落在直线 $BC$ 上时, 求 $\triangle OPB'$ 的面积;  (3) 在四边形 $OABC$ 旋转过程中, 当 $0^\circ < \alpha \leq 180^\circ$ 时, 是否存在这样的点 $P$ 和点 $Q$, 使 $BP=\dfrac{1}{2}BQ$ ? 若存在, 请直接写出点 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

    来源: 
    宁波市2009年初中毕业生学业考试数学试题
    难度: 
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