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初中数学

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28. 数学课上, 同学们探究下面命题的正确性: 顶角为 $ 36^\circ $ 的等腰三角形具有一种特性, 即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 为此, 请你解答问题 (1). (1) 已知: 如图 ①, 在 $ \triangle ABC $ 中, $ AB=AC $, $ \angle A=36^\circ $, 直线 $ BD $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ D $. 求证: $ \triangle ABD $ 与 $ \triangle DBC $ 都是等腰三角形; (2) 在证明了该命题后, 小颖发现: 下面两个等腰三角形如图 ②、③ 也具有这种特性. 请你在图 ②、图 ③ 中分别画出一条直线, 把它们分成两个小等腰三角形, 并在图中标出所有等腰三角形两个底角的度数; (3) 接着, 小颖又发现: 直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性, 如: 直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形, 请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图, 并在图中标出三角形各内角的度数. 说明: 要求画出的两个三角形不相似, 而且既不是等腰三角形也不是直角三角形. 

    来源: 
    2007年山西省太原市中等学校招生考试数学试题
    难度: 
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