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高中数学

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22. (I) 已知函数 $f(x)=rx-x^r+(1-r)\ (x>0)$, 其中 $r$ 为有理数, 且 $0 < r < 1$. 求 $f(x)$ 的最小值;(II) 试用 (I) 的结果证明如下命题:设 $a_{1}\geq 0,\ a_{2}\geq 0,\ b_{1},\ b_{2}$ 为正有理数. 若 $b_{1}+b_{2}=1$, 则 $a_{1}^{b_{1}}a_{2}^{b_{2}} \leq a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$;(III) 请将 (II) 中的命题推广到一般形式, 并用数学归纳法证明你所推广的命题.$\mathbf{注}$: 当 $\alpha$ 为正有理数时, 有求导公式 $(x^{\alpha})'=\alpha x^{\alpha -1}$.

    来源: 
    2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷 理科数学)
    难度: 
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