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名画数学

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世界名画中的数学26—几何h

分形(Fractal)是很近代的数学思想,它表达了具有以非整数维形式充填空间的形态特征。尽管分形的思想雏形自古有之,1895年 魏尔斯特拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstraß)构造了具有“处处连续,点点不可微”性质的被誉为分形鼻祖的曲线。随后著名的雪花边的kouch曲线(下左图),Sierpinski三角形(下右图)被构造出来。但长期以来,具分形特点的几何体一直被认为只在人们的想象中存在。直到1967年,芒德勃罗(B.B.Mandelbrot) 在美国《科学》(Science)杂志上发表题为《英国的海岸线有多长》的论文,才把分形从象牙塔中请了下来,告诉人们英国的海岸线可以无限长,不可以用欧几里德几何度量。人们惊讶地发现,分形几乎到处存在。     1973年芒德勃罗首次提出分形一词,以此来表达其具有不规则、支离破碎等意义,并创立了分形几何理论学科。之后随着计算机的发展,分形成为一门热门的数学学科,并衍射到许多其他科学学科。 分形一般有以下特质: 在任意小的尺度上都有精细结构 不规则,难以用传统欧氏几何的语言来描述 具有自相似形式...
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世界名画中的数学25—几何g

在埃舍尔众多的多面体中,有一个多面体需要特别提出,这就是后来以埃舍尔命名的多面体:埃舍尔体(Escher's solid)。埃舍尔体在埃舍尔著名的画作“瀑布”中出现,也在下面这幅叫做“群星探索”(Study for Stars,1948)的多面体全家福木刻中最为显著,即它是其中最大的那个。这幅包含全部正多面体的多面体全家福,从左到右,从上到下:正立方体和正八面体组合,正四面体,埃舍尔体,菱形十二面体,正二十面体,正八面体,正六面体(立方体),星形八面体(两个四面体组合),正十二面体,两个立方体组合。虽说的是全家福,却不呆板,各多面体错落有秩,大小协调,表现了一种结构美。   我们来特别谈谈埃舍尔多面体。这可以说是埃舍尔的原创几何体了,是作为艺术家的埃舍尔对数学的贡献。这个多面体神秘兮兮的,我们一起来探索一下: 它是一个星状菱形十二面体(Stellated Rhombic Dodecahedron),即在一个菱形十二面体的上每个面上“长”出一个四棱锥而形成的多面体。 它可用八个相同的小八面体组合而成。 它也可由三个完全相同的大八面体相嵌组合而成的。 它还可以...
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世界名画中的数学24—几何f

埃舍尔对几何多面体情有独钟,各种多面体经常出现在他不同题材的画作中,他还出了一本关于正规几何体的书《Regular Division of the Plane》。不仅如此,他还是一个业余天文学爱好者,上个世纪40年代他成为荷兰气象和天文协会的成员。我想如果埃舍尔与科学界,特别是分子结构晶体的对话再早些,他还一定会成为物理、化学、生物和建筑,特别是数学等诸多协会成员。他多次专门以星为题做了许多木雕和木刻。下面这幅“星”(Star, 1948),埃舍尔将不同的多面体分别以实体和棱边形式放在同一幅画里,形成群星闪烁,互相照耀的效果。我们知道,一共只有五种正多面体(又称柏拉图立体,即各面都是全等的正多边形且每一个顶点所接的面数都是一样的凸多面体):正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体和正二十面体,我们在这幅画中可以全部找到。然而埃舍尔不满足于此,他还利用正多面体的组合,叠加,互嵌等方式构造更多的多面体,有的以后还被命名为埃舍尔多面体。这幅画由漂浮在空中的多面体组成:正中的一个多面体和围绕它四周的四个小一些的多面体和其他作为背景的众多更小的多面体。正中最大的多面体由三个正八面体的棱边互嵌组成...
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世界名画中的数学23—易维f

埃舍尔还擅长用隐喻的形式表现我们所不可及的高维空间,这在他早期的画作“巴比塔”(Babel, 1928)中就表达了这个思想。《圣经·旧约·创世记》第11章宣称,当时人类联合起来兴建希望能通往天堂的高塔——巴比塔;为了阻止人类的计划,上帝派使者下凡混乱了人类的语言使之不能沟通,计划因此失败,从此人类各散东西。 这幅画用一个特殊的透视技巧,将视线从上而下聚焦在地面上,即从鸟瞰的角度看着正在兴建中的巴比塔,好像是从上帝的眼光审视人类的工作。也许在埃舍尔看来上帝所处的空间比人类所处的空间更高维。所以上帝可以让人觉得他处处在却处处不可琢磨。从埃舍尔玩过的那么多维数游戏中可以感到,埃舍尔一直在尝试扮演“掌控维数的上帝”。回到人类生活的空间,那基本生活在地面上,这样人们就自然而然地认为要升高维空间就只能往高处去,所以他们可以建造通天高塔以求可以进入天堂。这个想法中外文化都是公有的,只不过在中国文化中,上帝换成了神仙。但上帝只是轻易地将人们的语言搞乱就让人们的全部努力付之东流。在埃舍尔的这个高塔上我们可以隐约看到不同肤色的人,好像有人在工作,有人在拆台,形不成合力继续建造高塔。这是不是隐喻语言就是人...
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世界名画中的数学22—易维e

在二维平面上画三维的物体本来是几乎所有画家都在干的事,但埃舍尔却不仅仅满足于此,他探索着通过另类别样的降维方式来表达高维的东西。我们先来看一幅叫做“波面”(Rippled Surface,1950)的木刻。画面非常简单,画的是带波纹的二维水面。这幅画并不直接在二维画布上画太阳、树和池塘等三维场景,而是通过带波纹的水面反映这些东西,并通过水面上的两个波环一强一弱达到了一种动感的效果。从绘画技巧上看,没有应用任何透视什么的三维技术,而是平铺,画得很“二维”。所以埃舍尔实际上通过二维水面表现了三维空间加上一维时间的一个四维情景。太阳和树枝一远一近的外观影像以及通过波动表现的动感使得画面表现的这个四维空间尺度拉的广阔而深远。那波环扭曲了太阳和树枝的影像,暗示着在我们所处的低维空间里看到的高维空间的某些东西影像也许并不是它们的原像,而是受到了某些干扰后的形象,这提醒我们观察事物时应摒除和避免主观的武断、狭隘和偏见。   人的思维是几维的?不知道,那实在太丰富了。但产生思维的脑袋是三维的。俚语常说,我又不是你肚子里的蛔虫,我怎么知道你在想什么?而事实上,即便肚子里的蛔虫钻进了某人的脑子,蛔虫也不...
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世界名画中的数学21—易维d

如果莫比乌斯带是“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”,那么克莱因瓶就是“三维空间中二维可无限扩展之空间模型”。在数学中,克莱因瓶(Klein bottle)是指一种无定向性的封闭曲面,却没有“内部”和“外部”之分。这个瓶的结构在我们可见的三位空间里的素白描述是在一个瓶子底部有一个洞,延长瓶子的颈部,并且扭曲地进入瓶子内部,然后和底部的洞相连接。和普通的杯子不一样,这个物体没有“边”,它的表面不会终结。它也不同于气球,一只小虫可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。克莱因瓶最初的概念是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像,同样是二维曲面,莫比乌斯带把普通曲面的两面变成了一面,还保持着一条边,而克莱因瓶不仅只有一面,连边也消灭了。不过克莱因瓶在三维空间里也展示不了其特性,只有在四维空间里才可以,比莫比乌斯带要求的维数高了一维,也有人称其为高维的莫比乌斯环。如果我们一定要把它展现在我们生活的三维空间中,我们只好让它穿越自己,就像我们强求莫比乌斯带在二维空间里展现一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。也就是说克莱因瓶是...
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世界名画中的数学20—易维c

莫比乌斯带是数学中拓扑学上的一朵奇葩。1858年,德国数学家莫比乌斯(Mobius,1790~1868)发现:把一根纸条的一段扭转180°后,再与另一段粘上,形成的纸带圈具有魔术般的性质。这样的纸带只有一个面,一条边,一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带就被称为“莫比乌斯带”。这个带子的奇特之处在于它本身是个二维面却只能在三维空间里展示自己的特性,如果硬要把它按在二维空间里,它只能自己穿越自己了。所以有人称它完美地展现一个“二维空间中一维可无限扩展之空间模型”。 埃舍尔并不是一开始就想到莫比乌斯带(Mobius Strips)的。他说:“1960年,一位英国数学家(我已经记不起他的名字了)劝我作一幅莫比乌斯带的版画。而那时我对这个东西还几乎一无所知。”然而莫比乌斯带好象就是埃舍尔带,专门为埃舍尔所生,专等埃舍尔赏识,一旦埃舍尔发现了它,它立即就成了埃舍尔的主题。埃舍尔不仅画各种莫比乌斯带,却并不拘泥于典型的莫比乌斯带。他将其与自己擅长的镶嵌画融合,探索各种可能,达到了形形色色的奇妙效果。 下面这幅画和我们在互耦中提到的画同名,都叫“骑士”(Horseman),也都在19...
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世界名画中的数学19—易维b

埃舍尔是玩穿越的大师。在他眼里二维和三维空间,只不过是可以互相穿越循回的两个世界。这个想法在他的画“蜥蜴”(Reptiles 1943)里表现得淋漓尽致。在这幅画中,我们看到一列灰色的蜥蜴先升头,后收脚,从埃舍尔标志性的二维黑白灰三色蜥蜴镶嵌图中爬出,来到三维世界,先爬上一本隐喻理论的动物学的书,爬过一个寓意作为理论和实际桥梁的平面几何三角形,爬上一个暗示理想实际的立体几何正十二面体,打了一个喷烟的胜利响鼻,接着跳进一个装满世俗物品的铜钵,再跳到桌面上,将头伸进原来的那幅二维画,进入了二维的另一个世界,完成了一个周期。埃舍尔说:“有一次,一位妇女在电话里对我说‘埃舍尔先生,我对您的作品完全着了迷。您的版画《蜥蜴》把轮回再生的过程描绘得那么生动。’我答道,‘夫人,您要是那么认为,那就那样好了。’”这段对话埃舍尔技巧地回答了粉丝的提问,给与了粉丝再创造的权力。“轮回”也许不是埃舍尔创作的本意,但“轮回”的确是一种很好的解读,那么用数学的眼光看是什么呢?是循环迭代。而这在数学证明和现代计算机技术里经常使用。如果有机会将这个意思说给埃舍尔听,不懂计算机的他一定也会说“那就那样好了!”   下...
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世界名画中的数学18—易维a

刚性的维度在埃舍尔手中好像是一团面,可以任意拉伸扭转。画家通过二维平整的画面应用绘画技巧去表现三维的世界已不是新鲜事,他们利用人们的视觉幻象,在画布上逼真地表现三维世界,并毫不掩饰地号称绘画就是欺骗的艺术。而赏画者也甘心情愿地受骗,并且被骗越深越叫好。埃舍尔却并没有只是满足于骗骗观画者,他利用二维画三维的矛盾和诡术,在想象的空间里表现各类不同维的空间和它们的不可思议的魔法变化。除了前几集提到过“画手的手”和“解放”,他还做了很多探索。 下面这幅“三个球面”(Three Spheres I,1945),就是他变的维数戏法之一。这三个简单的几何体,号称是球面。对于最上面的那个,通过经纬线,观画者都没有疑问,认可是个球面,可忘了那只是一个在二维平面上画的球面。埃舍尔把这个球面折了一下,经纬线做了相应变动,然后将其放到了中间,观画者看到了一个半球面,仍然没有意识到这个半球也是在二维平面上。埃舍尔接着带着观画者玩,继续压那个球面,直至它成了一张皮,摊在桌子上,观画者这才看到最底下的那个是一个一个二维的圆,可这个二维圆却在一个三维空间里,更像是三维球面在一个三维桌的桌面上的投影。观画者还是没有从那...
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世界名画中的数学17—变换c

我们很多人都看过哈哈镜,看着镜中各种扭曲变形的自己之像就会忍俊不禁地哈哈大笑。物理学家告诉我们,这种现象是因为镜面凹凸不平的原因所致。换句话说,我们看到了在另一个弯曲扭屈空间的自己的形象。尽管经过了变形,那个变了形的形象仍然保持着我们的很多特征。在数学上我们把两个空间的对应叫做变换,也特别有兴趣什么样的特征在什么样的变换下保持不变,例如保角变换,共形变换等。   埃舍尔娴熟地应用各种变换技巧,使得他的画充满着哈哈镜般的喜剧效果。上面的这幅画叫“阳台(Balcony,1945)”,它通过局部的球形变换,突出了整个建筑物中一个阳台。阳台上还有一盆被放大的看起来有一两层楼高的盆栽植物。但这盆植物却起着画龙点睛的作用,一下子使画面充满生机。这幅画使人感觉到那个阳台是被吹大的,而那个阳台门就象是吹气口,这对当时普通建筑物当然是不可能的,所以画中的建筑更像是童话中的城堡或者是孩子手里的玩具。这说明了埃舍尔具有超强的想象力和至纯至朴的童真情怀。然而从冷峻的数学眼光看,这只不过是对普通的建筑物作了一次小小的变换。后来,很多建筑家从埃舍尔的画中找到灵感,加上理论和计算机的发展,使得在实际中建造扭曲建筑成...
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世界名画中的数学16—变换b

变换有时表现出一种突变的形式。也就是说当物体满足了某种条件后就会变成另一种状态。这样的现象在数学物理中叫“相变”。我们来看看埃舍尔是如何表现相变的。    上面这幅埃舍尔的《魔镜》(Magic Mirror,1946)是他一幅很有名的作品。这幅作品,通过镜面将世界分为了真实和镜像两部分。如果只是如此,倒也没什么特别之处,我们每天照镜子,知道镜子里面的人就是这个世界里“我”的像。如果镜面足够平,这个“像”除了左右颠倒,是完全反映了真实世界里“我”的面貌。埃舍尔却没有止步于此,他让镜前真实世界里有一群运动着的小生物,而且他还画了一个镜子背后的世界。镜前小生物的运动线路很诡异,它们好像是是从镜子里面爬出来,绕了一圈,又以渐变的方式进入镜子背后的世界。同时,镜子背后的世界才是真正的“像”世界,与镜前的世界完全对称,好似虚世界不只是在二维的镜面上,而是有一个和实世界一样的三维空间,它们的界面就是镜面。有意思的是渐变过程,过了镜面以后,方向不变的小生物的颜色黑白相易了,也就是说虚实交换了,这反映了“虚”和“实”相对的辩证关系,在虚世界,实空间里的虚像是实的,而实空间里的实像在那里是虚的。这种现象...
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世界名画中的数学15—变换a

变换,是指事物的一种形式或内容换成另一种,而在数学上的含义是指将一种状态或一个空间转到到另一个。这种转换形式可以是渐变,也可以是突变;可以是必然,也可以是或然。最简单的变换就是人人都懂得平移、旋转、反射等简单的图形变换。抽象一下,最简单的数学变换形式就是函数,它建立了自变量和应变量之间的关系。我们再往前走一步,从一个函数转换成另一个函数也叫变换。例如有两个函数f(x)和g(x),我们可以构造一个新的函数F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x),那么我们就可以把这两个函数联系起来了,并且在 t =0 和 t =1时,F(x,t)分别为f(x)和g(x)。而当t从0变到1时F(x,t)就从f(x)渐变到g(x)。这样我们找到一个方法将这两个函数连起来,然后沿着连接的路径从一个函数走到另一个函数,并且把这个路径记录下来,我们就看到了函数是怎么变换的,当然这是一条最直接的路径。        这段话是典型的数学语言,有些读者也许听起来有点晦涩,然而埃舍尔却用他的画笔轻松形象地表现出来了。埃舍尔把这种变换称为变形,通过图形的渐变,把一种东西变成另一种东西,下面一幅画《变形I》(Metamor...
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世界名画中的数学12 — 动态c

说到动态,就不能不提梵高。梵高和塞尚是同时代的人,我们回过头来惊叹,那个时代在欧洲,涌现了一批几乎囊括各行各业的伟人。如果说塞尚是在理性地追求超脱静物的隐含的“动”,那么梵高则是感性地宣泄流淌在情感里抽象的“动”。梵高这位易激动神经质的艺术家,在短暂一生中探索表现主义的绘画语言表达心灵情感,浓重响亮的色彩对比往往达到极限,留下大量杰作。 在他画中,那富于激情的笔触使他的麦田、柏树、星空等有如火焰般升腾、旋转、跃动,震撼观者的心灵。强烈的情感完全溶化在色彩与笔触中。欣赏了梵高的画,我一直感叹梵高到底有一双什么样的眼睛?这双眼睛为什么可以穿透重重迭迭的表面障碍,看见现象的本质?为什么可以超越冥冥漫漫的时间空间,看到未来人们才能了解到的事实?而这些东西又是如何通过他神奇的画笔展现给我们?        文森特.威廉.梵高(Vincent Willem van Gogh,1853-1890),荷兰印象派代表性画家。 做过职员、经纪人、传教士。他早期画风朴实。1886年到巴黎结识印象派使其画风巨变,由沉闷昏暗变得简洁明亮和色彩强烈。1888年来到法国南部时,已形成了自己风格。37岁时在精神错乱...
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世界名画中的数学10 — 动态a

 17世纪开始,微积分由牛顿和莱布尼兹发起而诞生,历史上为争论无穷小量的意义而大打出手,那时无穷小量被保守派称为“幽灵”,呼之即来,挥之即去。直到19世纪,在众多数学家的努力下,微积分的理论才趋于完善,人们才有了刻画动态的利器。    这段时间,为绘画艺术寻找出路的艺术家们也开始在静态的画面上尝试描述动态,静悄悄地开展了一场动态革命。尽管人们尝试刻画动态由来已久,在古埃及的壁画上就可以看出端倪。例如在弘扬法老拉姆西斯II的壁画上,英雄的战马刻成了六条腿,以此表示战马奔腾的状态。然而绝大多数描述动态场合的古典画,无论多壮观,都是凝固了激烈场面的一瞬间,那些人物的姿态和表情都是清晰真切细腻的。      我们来看文艺复兴时期巴洛克美术的代表人物德国画家彼得.保罗.鲁本斯(Peter Paul Rubens,1577—1640)的代表作"强劫留西帕斯的女儿(Rape of the Daughters of Leukippos)"。画的高超技巧和华丽色彩和动作强烈的风格令人印象深刻。希腊神话英雄宙斯的孪生子狄俄斯库里把留西帕斯的两个女儿从梦中劫走,强行上马的情景。两匹马和两对男女的交错动势占...
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世界名画中的数学9 — 映射c

如何在画布上表现抽象的概念?艺术家们找到的诀窍就是映射。他们通过特征的物体表现一些抽象的理念和神秘的潜意识,这使得他们的作品离现实物象越来越远,画面也越来越荒诞。画家自己不负责解释,于是观众欣赏一幅画成为一个再创作的过程,而且见仁见智。所以同一幅画,每个观众根据自己的经历和知识会得到不同的感受,这也就是后超现实主义画派所达到的高度。这里一名杰出人物叫达利。    今年六月份,我去西班牙南部开会,在马德里转机,转机时间有8小时,我就顺便跑进了城里去看几个博物馆。碰巧,索非亚王妃艺术中心正在举办达利画展,那个参观的人可谓人山人海,排队转了两个圈,可与我们的世博会有一拼。我上午10点排到后只能买到下午6点半的参观票,到时飞机怕是赶不上了。后来直接持票去展馆,秀出我的机票,才获特权进去参观,让我有机会全面欣赏达利的作品,从而获得一份额外的惊喜。——只是可惜不让拍照。        萨尔瓦多·达利(Salvador Dali,1904年 -1989年 )生于西班牙菲格拉斯,西班牙超现实主义画家和版画家,达利是一位具有非凡才能和想像力的艺术家,以探索潜意识的意象著称。1982年西班牙国王胡安·...
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世界名画中的数学8 — 映射b

19世纪,面对工业革命带来的科学技术应用,绘画面临着前所未有的生死考验。再要追求“画”如何“像”实体已经走到了尽头。因为再怎么“像”也像不过咔嚓一下就成像的照相技术。于是有人哀叹:绘画完了。然而正象长江推后浪,在旧理念走向没落的同时,新理念如凤凰涅磐,从中喷薄而出,展现了其蓬勃的生命力。卓越的艺术家在他们在方寸画布上,左突右闪,寻找出路。当时西方流行着各种画派,有的昙花一现,有的传承下来。其中最为后人称道的是印象派。印象派最成功之处是将画家的感觉融进了画布,通过感觉映射,建立了一个和观众交流的情感桥梁。于是将作品从原来被动地反映客观世界提升到主动地宣泄作者的主观世界。也就是如上集提到的,作者在客观实体和主观概念,进而在自建模型之间找到了一个打上作者烙印的映射函数。用数学的话说,就是把古典空间映射推广到广义空间,将现实物体与情绪感觉建立起了联系。如果说郑板桥抽象的是竹的神韵,那么莫奈抽象的是睡莲的光感,他们将这些映射到自己的画作中。而这印象派的先驱和代表人物就是莫奈。    克劳德·莫奈(Claude Monet,1840-1920),法国画家,印象派代表人物和创始人之一。莫奈长期探索...
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世界名画中的数学7 — 映射a

中国画和西洋画走得是不一样的路。西洋画从现实到抽象,经过了许多艺术家多年的努力,而中国画一直追求的“神似”而很少在乎过“形似”。对于画品和实物之间的关系,我们的前辈艺术大师早就有非常深刻的见解。而这些见解也是我们后来的数学所应用的理念。大家熟知的画竹大师郑板桥就有一段名言:          “其实胸中之竹并非眼中之竹。因而磨墨展纸,落笔稍作变相,手中之竹又不是胸中之竹,总之意在笔先。定则也。趣在法之外者,化机也,独画之乎哉。构思时先得成竹与胸中,执笔熟视,乃见其所。”            郑板桥(1693—1765)清代官吏、书画家、文学家。名燮,字克柔,汉族,江苏兴化人。康熙秀才、雍正举人、乾隆元年进士。中进士后曾历官河南范县、山东潍县知县,有惠政。以请臻饥民得罪大吏,乞疾归。后主要客居扬州,以卖画为生。著名的“扬州八怪”之一。其诗、书、画均旷世独立,,世称“三绝”,尤其擅画兰、竹、石、松、菊等植物,其中画竹五十余年,成就最为突出。著有《板桥全集》。 绘画的代表作品有:《修竹新篁图》、《清光留照图》、《兰竹芳馨图》、《甘谷菊泉图》、《拄石干霄图》、《丛兰荆棘图》、《画竹留赠图》等...
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世界名画中的数学6 — 几何e

和康定斯基同时代同地域的还有一位俄国的艺术家马列维奇,也在几何语言的抽象艺术中攻城掠地,插上了自己的旗帜。然而,他走得更远、更极端,他的命运也更令人唏嘘。        卡西米尔.塞文洛维奇.马列维奇 (Kasimier Severinovich Malevich, 1878——1935),俄国艺术家,至上主义艺术奠基人。出生于乌克兰基辅的一个制糖小作坊家庭,是家里14个兄弟姐妹的长兄,12岁前不知什么是艺术。马列维奇先当了基辅艺术学校的学生,后转入莫斯科美术学院。他从接受严谨的西方艺术美学的教育开始,后和康定斯基等人一起成为早年几何抽象主义的先锋,最终以朴实而抽象或黑白或亮丽的几何形体,创立这个几乎只有他一个人独舞的至上主义艺术舞台。他的成名作《手足病医生在浴室》、《玩纸牌的人》,具有立体主义和未来主义的特色。他还曾参与起草俄国未来主义艺术家宣言。十月革命后参加左翼美术家联盟。1935 年 在贫病中卒于列宁格勒 (今圣彼得堡 )。      他的名言:“模仿性的艺术必须被摧毁,就如同消灭帝国主义军队一样。”。    我特地提到他,是因为他的两幅画:“White on White"...
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世界名画中的数学5 — 几何d

工业革命以后,许多人力的工作逐渐由机器代替。一大部分作为高级技师的画家的地位也受到了挑战。特别是19世纪初照相机问世让一大批画师丢掉了饭碗。同时摄影艺术由此诞生。在这前后绘画的理念发生了翻天覆地的变革。当然对于真正的艺术家来说,艺术永远有着勃勃的生机。他们面前的方寸画布,不再只是要忠实地反映客观世界的镜面,而是宣泄他们对世界理解的舞台。所以这段时间也是流派频出,画样翻新的年代。而几何在绘画中的角色也悄悄地发生了变化:由原来精细的结构支撑变成直接跳到台前,以自己简洁的方式诠释那些看不见、摸不着的感觉、情绪、意念、气氛等抽象元素。    康定斯基就是其中的代表人物。      瓦西里·康定斯基(Wassily Kandinsky,1866 ~1944) 俄裔法国画家,艺术理论家。康定斯基出生于俄罗斯莫斯科。莫斯科大学就读法律和经济学。1896年在慕尼黑学习绘画,俄国革命后返回莫斯科,1921年回到德国,1933年被纳粹关押,后定居法国,1944年逝于巴黎近郊。他在1911年所写的《论艺术的精神》、1912年的《关于形式问题》、1923年的《点、线到面》。1938年的《论具体艺术》等论文,...
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世界名画中的数学4 — 几何c

在文艺复兴时期,除了三杰(达芬奇、米开朗基罗和拉斐尔),在欧洲北部也有一位杰出的艺术家对几何画法做出了重大贡献,他就是丢勒。     阿尔布雷特·丢勒(Albrecht Dürer,21 May 1471 – 6 April 1528),是德国画家、版画家及木版画设计家。北部文艺复兴的代表人物,作品包括木刻版画及其版画、油画以及素描作品。他同时是名数学家。他的一生除了两次短期去意大利和荷兰的旅行,大都在德国的纽伦堡生活。现在在纽伦堡有他一个博物馆叫 Albrecht Dürer's House,在那栋城堡里他度过了他最后的时光。    丢勒将他对人体比例的研究写在了他的书里 Four Books on Human Proportion。在这4本书里用了几百个模型对男人和女人身体各个部分的比例进行了深入研究。下面就是他成果的一些例子:    丢勒在数学上的贡献在他的另外4本书里 Four Books on Measurement。在这4本书里,他分别研究了线性几何、高维几何、各种几何体及其在建筑学、工程学和活版印刷中的应用。在书中用欧几里德和托密勒的方法游刃有余。他对数字理论也有深入...
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