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变换

数学之美

世界名画中的数学17—变换c

我们很多人都看过哈哈镜,看着镜中各种扭曲变形的自己之像就会忍俊不禁地哈哈大笑。物理学家告诉我们,这种现象是因为镜面凹凸不平的原因所致。换句话说,我们看到了在另一个弯曲扭屈空间的自己的形象。尽管经过了变形,那个变了形的形象仍然保持着我们的很多特征。在数学上我们把两个空间的对应叫做变换,也特别有兴趣什么样的特征在什么样的变换下保持不变,例如保角变换,共形变换等。   埃舍尔娴熟地应用各种变换技巧,使得他的画充满着哈哈镜般的喜剧效果。上面的这幅画叫“阳台(Balcony,1945)”,它通过局部的球形变换,突出了整个建筑物中一个阳台。阳台上还有一盆被放大的看起来有一两层楼高的盆栽植物。但这盆植物却起着画龙点睛的作用,一下子使画面充满生机。这幅画使人感觉到那个阳台是被吹大的,而那个阳台门就象是吹气口,这对当时普通建筑物当然是不可能的,所以画中的建筑更像是童话中的城堡或者是孩子手里的玩具。这说明了埃舍尔具有超强的想象力和至纯至朴的童真情怀。然而从冷峻的数学眼光看,这只不过是对普通的建筑物作了一次小小的变换。后来,很多建筑家从埃舍尔的画中找到灵感,加上理论和计算机的发展,使得在实际中建造扭曲建筑成...
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世界名画中的数学16—变换b

变换有时表现出一种突变的形式。也就是说当物体满足了某种条件后就会变成另一种状态。这样的现象在数学物理中叫“相变”。我们来看看埃舍尔是如何表现相变的。    上面这幅埃舍尔的《魔镜》(Magic Mirror,1946)是他一幅很有名的作品。这幅作品,通过镜面将世界分为了真实和镜像两部分。如果只是如此,倒也没什么特别之处,我们每天照镜子,知道镜子里面的人就是这个世界里“我”的像。如果镜面足够平,这个“像”除了左右颠倒,是完全反映了真实世界里“我”的面貌。埃舍尔却没有止步于此,他让镜前真实世界里有一群运动着的小生物,而且他还画了一个镜子背后的世界。镜前小生物的运动线路很诡异,它们好像是是从镜子里面爬出来,绕了一圈,又以渐变的方式进入镜子背后的世界。同时,镜子背后的世界才是真正的“像”世界,与镜前的世界完全对称,好似虚世界不只是在二维的镜面上,而是有一个和实世界一样的三维空间,它们的界面就是镜面。有意思的是渐变过程,过了镜面以后,方向不变的小生物的颜色黑白相易了,也就是说虚实交换了,这反映了“虚”和“实”相对的辩证关系,在虚世界,实空间里的虚像是实的,而实空间里的实像在那里是虚的。这种现象...
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世界名画中的数学15—变换a

变换,是指事物的一种形式或内容换成另一种,而在数学上的含义是指将一种状态或一个空间转到到另一个。这种转换形式可以是渐变,也可以是突变;可以是必然,也可以是或然。最简单的变换就是人人都懂得平移、旋转、反射等简单的图形变换。抽象一下,最简单的数学变换形式就是函数,它建立了自变量和应变量之间的关系。我们再往前走一步,从一个函数转换成另一个函数也叫变换。例如有两个函数f(x)和g(x),我们可以构造一个新的函数F(x,t)=(1-t)f(x)+tg(x),那么我们就可以把这两个函数联系起来了,并且在 t =0 和 t =1时,F(x,t)分别为f(x)和g(x)。而当t从0变到1时F(x,t)就从f(x)渐变到g(x)。这样我们找到一个方法将这两个函数连起来,然后沿着连接的路径从一个函数走到另一个函数,并且把这个路径记录下来,我们就看到了函数是怎么变换的,当然这是一条最直接的路径。        这段话是典型的数学语言,有些读者也许听起来有点晦涩,然而埃舍尔却用他的画笔轻松形象地表现出来了。埃舍尔把这种变换称为变形,通过图形的渐变,把一种东西变成另一种东西,下面一幅画《变形I》(Metamor...
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