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组合

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组合的定义:  从 `n` 个不同元素中取出 `m(m\leqslant n)` 个元素组成一组,而不考虑其元素的顺序,称为从 `n` 个不同元素中取 `m` 个元素的一个组合(combination).

组合数的定义:  从 `n` 个不同元素中取出 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有不同的个数,称为从 `n` 个不同元素中取 `m` 个元素的一个组合数, 用符号 `C_n^m` 表示.[1]

[1] `C`是英文combination(组合)的第一个字母,  组合数还可以用符号 `\dbinom{n}{m}` 表示.

组合数计算公式:  $$C_n^m=\dfrac{A_n^m}{A_m^m}=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-m+1)}{m!}.$$其中 `n,m\in N^*`, 并且 `m\leqslant n`, 因为 $$A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}.$$所以组合数公式还可以写成$$C_n^m=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}.$$

规定 `C_n^0=1`.

组合数的性质

(1)\(C_n^m=C_n^{n-m} ~~;\)

(2)\(C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1} ~~.\)