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排列

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排列的定义: 从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从 `n` 个不同元素中取出 `m` 个元素的一个排列.

说明:

(1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列;

(2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同.

排列数的定义: 从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有排列的个数叫做从 `n` 个元素中取出 `m` 个元素的排列数,用符号 `A_n^m` 表示.

注意区别排 列和排列数的不同:“一个排列”是指:从 `n` 个不同元素中,任取 `m` 个元素按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从 `n` 个不同元素中,任取 `m(m\leqslant n)` 个元素的所有排列的个数,是一个数. 所以符号 `A_n^m` 只表示排列数,而不表示具体的排列.

排列数公式: $$A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1).$$其中 `(m,n\in N^*,~m\leqslant n)`.

说明:

(1)公式特征:第一个因数是 `n`,后面每一个因数比它前面一个少 `1`,最后一个因数是 `n-m+1`,共有 `m` 个因数;

(2)全排列:当 `n=m` 时即 `n` 个不同元素全部取出的一个排列.

全排列: `A_n^n=n(n-1)(n-2)\cdots 2·1=n!` (叫做 `n` 的阶乘).

规定: `0!=1`.

排列数的其它计算公式:

`A_n^m=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)`

`=\dfrac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)(n-m)\cdots 3·2·1}{(n-m)(n-m-1)\cdots 3·2·1}`

`=\dfrac{n!}{(n-m)!}=\dfrac{A_n^n}{A_{n-m}^{n-m}}`

即$$A_n^m=\dfrac{n!}{(n-m)!}.$$