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斐波那契数列

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生小兔问题——斐波那契数列

13世纪初,意大利比萨的一位叫伦纳德,外号为斐波那契(Fibonacci)的数学家在一本题为《算盘书》的数学著作中提出下面一个有趣的问题:

兔子出生以后两个月就能生小兔,若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄),假如养了初生的小兔一对,试问一年后共有多少对兔子(如果生下的小兔都不死)?

我们来推算一下,如下表所示:

月份
兔子总数(对)
1
1
2
1
3
2
4
3
5
5
6
8
7
13
8
21
9
34
10
55
11
89
12
144
13
233
...
...

题中本质上有两类兔子:一类是能生殖的兔子,称为成年兔子;新生的兔子不能生殖;新生兔子一个月就长成成年兔子。求的是成年兔子与新生兔子的总和。每月新生兔对数等于上月成年兔对数。每月成年兔对数等于上个月成年兔对数与新生兔对数之和。最后得关系式:

`F(1)=F(2)=1`;

`F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)`。

法国数学家比内(Binet)证明了通项公式为

$$F_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left[( \dfrac{1+\sqrt{5}}{2} )^n- ( \dfrac{1-\sqrt{5}}{2} )^n \right].$$

链接: 斐波那契数列通项的推导

斐波那契数列的性质

斐波那契数列有很多有趣的性质,归纳如下:

性质1:相邻的斐波那契数之平方和(差)仍为斐波那契数。

性质2:对连续的斐波那契数,首尾两项之积,与中间项平方之差为1。

性质3:相邻两斐波那契数互素。

性质4

`F(1)+F(2)+…+ F(n)=F(n+2)-1,F(1)+F(3)+…+ F(2n-1)=F(2n)`,

`F(2+F(4+…+ F(2n)=F(2n+1)-1,F(n+m)=F(n-1)F(m)=F(n) F(m+1)`.

性质5:若n能被m整除,则F(n)能被F(m)整除。

性质6:`F(3n)`可以被2整除,`F(4n)`可以被3整除,`F(5n)`可以被5整除,`F(6n)`可以被8整除,…这些除数也构成斐波那契数列。

性质7:若斐波那契数为素数,则其指标数也使素数。

性质8:1953年Stancliff给出结果

`\sum_{i=1}^{+\infty} \frac{F_i}{10^{i+1}}=\frac{1}{89}`

而89是斐波那契数列的第11项,且是素数。

性质9:法国数学家吕卡给出结果

`F_{(n,m)}=(F_n,F_m)`

性质10:末位数字的周期性:末位数字的周期为60,末二位数字的周期是300,末三位数字的周期是1500,末三位数字的周期是15000,末五位数字的周期是150000。

 

视频:神奇的斐波那契数列

斐波那契数列的应用

斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的,如果它在其它方面没有应用,它就不会有强大的生命力。发人深省的是,斐波那契数列确实在许多问题中出现。

①花瓣数中的斐波那契数

大多数植物的花,其花瓣数都恰是斐波那契数。例如,兰花、茉利花、百合花有3个花瓣,毛茛属的植物有5个花瓣,翠雀属植物有8个花瓣,万寿菊属植物有13个花瓣,紫菀属植物有21个花瓣,雏菊属植物有34、55或89个花瓣。

②向日葵花盘内葵花子排列的螺线数

向日葵花盘内,种子是按对数螺线排列的,有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数,一般是34 和55,大向日葵是89和144,还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线,它们都是相继的两个斐波那契数。其他松果、菜花等也有这一性质。这一模式几个世纪前已被注意到,此后曾被广泛研究,但真正满意的解释直到1993年才给出。这种解释是:这是植物生长的动力学特性造成的;相邻器官原基之间的夹角是黄金角——137.50776度;这使种子的堆集效率达到最高。

③股票指数增减的“波浪理论”

完整周期3上2下(或5上3下或3上5下),常是相继两斐波那契数;每次股指增长幅度(8,13等)或回调幅度(8,5),常是相继两斐波那契数。

股指变化有无规律?回答是肯定的。1934年美国经济学家艾略特在通过大量资料分析、研究后,发现了股指增减的微妙规律,并提出了颇有影响的“波浪理论”。该理论认为:股指波动的一个完整过程(周期)是由波形图(股指变化的图象)上的5(或8)个波组成,其中3上2下(或5上3下),如图,无论从小波还是从大波波形上看,均如此。注意这儿的2、3、5、8 均系斐波那契数列中的数。同时,每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。

比如:如果某日股指上升8点,则股指下一次攀升点数为13;若股指回调,其幅度应在5点左右。显然,5、8、13 为斐氏数列的相邻三项。

可以说,斐波那契以他的兔子问题,猜中了大自然的奥秘,而斐波那契数列的种种应用,是这个奥秘的不同体现。